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黑白斋主——奇门探索录

博学之,审问之,慎思之,明辨之,笃行之。

 
 
 

日志

 
 

洛书转盘与勾股乘方(转)  

2011-04-10 17:36:27|  分类: 河洛八卦 |  标签: |举报 |字号 订阅

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中国人很早就知道“勾三股四弦五”,现存于世的古老天算著作《周髀算经》就记载了这一结果。一般来说,直角三角形的两直角边平方和等于斜边的平方。三三而九,四四十六,五五二十五,正好有这样一种加法关系。  

当年,文渊阁大学士李光地(公元1642年—1718年),奉康熙皇帝之命,率四十九名进士,编纂《周易折中》,搜罗百代之精华,集萃前贤之大成。此书附有易学启蒙篇章,开河洛勾股之先河。  

后继者江永(公元1681年—1762年),字慎修,著作《河洛精蕴》。江永七十九岁时,作此书,阐奥发微,一生研究所得,尽在其中。  

二位大儒的著作,在清代,产生了非常深广的影响。九数这篇短文的题目“勾股乘方”四字就取自《河洛精蕴》,在他们的基础上,我稍微作了点引申。  

四九二  
三五七  
八一六
(一)洛书转盘  
看了古人留下的许多洛书图式,我认定万年淳的外圆内方洛书图式最适合表现转盘旋机结构。在《洛书旋机与全息结构》这篇短文中,我们引过一句话——天道左旋,地道右转。这是古人留下的观点,在洛书中,可以有非常简明的数字表现。  
[1]阳数天盘  
□,九,□  
三,◎,七  
□,一,□  
左旋三倍:一三九七  
一→三:1*3=3,化为1*3≡3(模10);  
三→九:3*3=9,化为3*3≡9(模10);  
九→七:9*3=27,化为9*3≡7(模10);  
七→一:27*3=81,化为7*3≡1(模10)。  
右旋七倍:一七九三  
一→七:1*7=7,化为1*7≡7(模10);  
七→九:7*7=49,化为7*7≡9(模10);  
九→三:9*7=63,化为9*7≡3(模10);  
三→一:3*7=21,化为3*7≡1(模10)。  

[2]阴数地盘  
四,□,二  
□,◎,□  
八,□,六  
右旋七倍:二四八六  
二→四:2*7=14,化为2*7≡4(模10);  
四→八:4*7=28,化为4*7≡8(模10);  
八→六:8*7=56,化为8*7≡6(模10);  
六→二:6*7=42,化为6*7≡2(模10)。  
左旋三倍:二六八四  
二六:2*3=6,化为2*3≡6(模10);  
六八:6*3=18,化为6*3≡8(模10);  
八四:8*3=24,化为8*3≡4(模10);  
四二:4*3=12,化为4*3≡2(模10)。  

很明显,这里写成模10的同余式,是用观察乘法所得的结果来描述转盘数字循环模式的。  

洛书口诀中,有一句“左三右七”,我们这里正是用这种模式来解释的。左旋三倍,右旋七倍,这是对天盘和地盘都适用的统一模式。可以说,这是最佳的选择。
(二)周期循环  
在《周易折中》里,记有“河图为加减之原,洛书为乘除之原”的说法。实际上,在洛书中有完全的加减乘除四则算术规律。从乘方的角度来看洛书,更能够展现出旋转的特点。  
[1]阳数天盘  
□,九,□  
三,◎,七  
□,一,□  
一的乘方个位数字总是按照一循环,周期为一。  
三的乘方个位数字总是按照三九七一循环,周期为四。  
七的乘方个位数字总是按照七九三一循环,周期为四。  
九的乘方个位数字总是按照九一循环,周期为二。  
1^1=1;1^2=1,……  
3^1=3,3^2=9,3^3=27,3^4=81;3^5=243,……  
7^1=7,7^2=49,7^3=343,7^4=2401;7^5=16807,……  
9^1=9,9^2=81;9^3=729,……  

[2]阴数地盘  
四,□,二  
□,◎,□  
八,□,六  
二的乘方个位数字总是按照二四八六循环,周期为四。  
四的乘方个位数字总是按照四六循环,周期为二。  
六的乘方个位数字总是按照六循环,周期为一。  
八的乘方个位数字总是按照八四二六循环,周期为四。  
2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16;2^5=32,……  
4^1=4,4^2=16;4^3=64,……  
6^1=6;6^2=36,……  
8^1=8,8^2=64,8^3=512,8^4=4096;8^5=32768,……  

[3]河洛对照  
非常有趣的是,前面归纳的洛书中乘方个位数字规则,如果放在河图中看,正好是同类的居相同方位。  
□□七□□  
□□二□□  
八三五四九  
□□一□□  
□□六□□  
一六,北方水,恰好周期都为一。  
二七,南方火,恰好周期都为四,在洛书中反时针。  
三八,东方木,恰好周期都为四,在洛书中顺时针。  
四九,西方金,恰好周期都为二。  

对于这些数来说,有一个共同的特点,无论各自周期是多少,五次方的结果,其个位数字总回到该数本身。写成同余式,即a^5≡a(模10)。
(三)卍字螺旋  
我们从卍字符的角度看洛书,将洛书划分为四条螺旋臂。四→三→五,二→九→五,六→七→五,八→一→五。这里的数字排列,是从边缘走向中心数字五。  

四,九,二  
三,五,七  
八,一,六  

仔细看,四→三→五,这分明是勾三股四弦五的模式。难道这洛书也能够和勾股定理连上?是的,当年江永就是这样看的。为此,他作了四幅洛书勾股图,每条螺旋一幅图。  

也许有人会问,那“二→九→五”呢?这也难不住江永,他用前面的“左旋三倍”乘法规则来解释。  
四→三→五:4^2+3^2=5^2  
二→九→五:12^2+9^2=15^2  
六→七→五:36^2+27^2=45^2  
八→一→五:108^2+81^2=135^2  

注意到卍字符是旋转的,上面的模式还可以继续下去。  
四→三→五:324^2+243^2=405^2  
二→九→五:972^2+729^2=1215^2  
六→七→五:2916^2+2187^2=3645^2  
八→一→五:8748^2+6561^2=10935^2  

勾3→9→27→81→243→729→2187→6561→……  
股4→12→36→108→324→972→2916→8748→……  
弦5→15→45→135→405→1215→3645→10935→……  

很明显,卍字符每旋转四分之一圆周,数字就都扩大三倍了,如此循环下去,直至无穷。在这个变化过程中,洛书中的数字,记录的正好是所得大数的个位数字。就这样,小小的洛书中,存储了无数的勾股弦数字组合。
(四)黄金比例  
黄金比0.618……,这是西方人认识的奇妙数字。许多人都认为,这个数字也写在洛书里面了。因为我们分明看见洛书最下方排列的是“八一六”,如此离黄金比也就不远了。人们可以用这三个数字写出一个小数0.618,这正好是黄金比的近似值。  

四,□,二  
□,◎,□  
八,□,六  

请注意观察偶数在洛书中的排列,按照顺时针方向,从左上角开始,正好是四二六八。非常有趣的是,4+2=6,2+6=8,6+8=14,这里14的个位数字正好回到了出发点4。这里,并没有按照“左旋三倍”的乘法来看,而是不断的作加法,这正是黄金数列的生成规则!  

继续演算下去,8+14=22,14+22=36,36+58=94,58+94=152,94+152=246,152+246=398。  

就这样,我们得出了一个序列:4,2,6,8,14,22,36,58,94,152,246,398,……很明显这个序列的个位数字恰好是按照4→2→6→8的顺序循环出现。  

一般来说,x[1]=4,x[2]=2,x[n]+x[n+1]=x[n+2],由此就可以完全确定这个序列。由于这个序列与斐波那契数列的生成规则一致,都是x[n]+x[n+1]=x[n+2],因此同样会有相邻二项的比值x[n]∶x[n+1]越来越接近0.618……(黄金比)。  

我们算几个例子看一下吧。22/36=0.61111…,58/94=0.61702…,94/152=0.61842…,246/398=0.61809…。  

好几个世纪以前,一位德国人开普勒说过,几何学里有两大宝藏,一个是勾股定理,一个是黄金比例。非常有意思的是,人们按照易的象数思维,这两大宝藏竟然都和洛书连上了。也许是因为洛书的地位实在太崇高吧,人们总是想尽可能的往洛书里面多装点好东西。  

有时候,我在想,八卦就是一只葫芦,里面装着天地间无数的真宝。八卦如此,河图洛书也是如此,天干地支甲子五行还是如此。这是典型的东方人发展学术的方式,后人为前人注解的时候,这个“注”字生动的表达了又有新的东西注入其中了。这个过程,就是往葫芦里装宝的过程。
(五)算术妙趣  
从前,有一位法国人,非常喜欢东方文化,尤其是对中国的洛书河图八卦有极大的兴趣,花了大量的时间学易。非常有趣的是,这位法国人竟然从洛书中领悟了一个有趣的数字排列。  

四,九,二  
三,五,七  
八,一,六  

他发现,在洛书中,按照“三→八→一→六→五→四→七→二→九”这样的顺序取数,可以得出一组非常奇妙的数字。依次得出的是一位数到九位数:3,38,381,3816,38165,381654,3816547,38165472,381654729。  

请看下面的除法计算。  
一位数字:三,3÷1=3;  
二位数字:三八,38÷2=19;  
三位数字:三八一,381÷3=127;  
四位数字:三八一六,3816÷4=954;  
五位数字:三八一六五,38165÷5=7633;  
六位数字:三八一六五四,381654÷6=63609;  
七位数字:三八一六五四七,3816547÷7=545221;  
八位数字:三八一六五四七二,38165472÷8=4770684;  
九位数字:三八一六五四七二九,381654729÷9=42406081。  

他的发现是,在这个顺序中,取几位数,该数就是几的倍数。需要注意的是,“三→八→一”与“七→二→九”正好在洛书中处于中心对称的位置。你看,这位法国人的发现确实非常有趣呢!  

这样的一种数字研究,对于古代的中国人来说,是非常陌生的。因为这完全是西方人的传统,他们受古希腊的影响,重视几何和素数。  

算数,对于古代的中国人来说,就是加减乘除乘方开方,并不关心数之间的分解与合成,也就没有素数合数这样的内容了。在二千多年前,中国人并没有素数的概念,这是当时希腊人的文化。算筹算盘这些算具的发明,意味着古代中国人擅长的是计算。
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