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黑白斋主——奇门探索录

博学之,审问之,慎思之,明辨之,笃行之。

 
 
 

日志

 
 

周易数学表法——易学现代数理观  

2011-05-13 13:54:18|  分类: 河洛八卦 |  标签: |举报 |字号 订阅

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周易数学表法——易学现代数理观
吴 海 林

(中国科学院 长春光学精密机械与物理研究所 长春 130052)

       摘要:本文以邵雍的宇宙演化方式为基点,从八卦的数学表达中构造河图与洛书图式;依据河图与洛书数理,建立易学微分方程式;利用方程式的解,讨论各种易学符号之间的关联;讨论阴阳二气与五行之间的关系等问题;从而构成易学现代数理观的内涵,实现易学与科学会通的过渡。

        关键词:周易、阴阳、五行、八卦、规律

The mathematics express in Zhouyi
——the point of modern mathematics principle view for Yi Studies

Wu Hailin

(Changchun Institute of Optics、Fine Mechanics and Physics,Chinese Academy of Sciences, Changchun 130052, China)

Abstract:
This article take the universe evolution way of Shao Yong as a basic point.From the mathematics expression of Eight Gua structure the He Map and the Luo Chart scheme.Based on the He Map and the Luo Chart mathematical, establishes the differential equations of Yi Studies. Using the equation solution to discuss the connection in each kind of Yi Studies marks,and discussing the questions of the connection in each kind of Qi inYin-yang with Five elements and so on. Thus constitutes  the connotation of  the modern mathematics principle veiow in theYi Studies,and realizes theYi Studies the transition which and the science.
Key words:Zhouyi,Yin-yang,Five elements,eight Gua law

前    言

       对于易学的研究,朱伯昆教授在<易学基础教程>中[1]指出:“易学的研究能否与当代各门科学相结合,也是当代易学研究的一大课题”。杨庆中先生在〈二十世纪中国易学史〉[2]一书中介绍:董先生(董光壁)认为“以科学治易学”作为易学研究的一种方式,可以随着科学的发展,不断创新对易学经传的理解,使易学得以发展。因此,它是保存和发展易学的一种最好的方式。而“以易学治科学”的目的是,借易学的种某观念或方法的启迪进而达到新知识的创造。
       本着上述思想,本文通过对河图和洛书数理的考察和延伸,力图用现代数学方法来了解易学的内涵,从而实现易学与现代科学相结合的过渡。
       一、易学经典数理观
       在〈巧解周易〉[3]一书中王启铭先生从本为养兔子问题的‘裴波那契级数’竟与宇宙中都多事物运行的规律相关联中,感悟到源于阴爻(--)和阳爻(—)相互组合的规律(可以用二进制数来表达)涵盖着宇宙运行的普遍规律;认为‘我国先民笃信万物源于同一本源,…把万物的生化都纳入了同一个全息同构系统’,因而可以‘类万物之情’。并且指出:‘勿庸置疑,易数也是符号,只是表示的先天的场性,而对本质的场性的抽象,便是它可用于预测的基石和脊柱’。
       下面抄录几段朱伯昆教授介绍方以智、王夫之等人易学数理观的篇章。[1]
      ‘方以智提出“虚空皆象数”的命提,以象数为理气之表法。…据此,又提出了合理气象数而为一的论点。天地间一切有形的和无形的东西,都是气化产物,象数乃气化的形式和度数,理作为气化之所以然,即贯穿于阴阳二气、天地之象和奇偶之数中。“理藏于象,象历为数”,象的差别与层次清晰可数,即是数。也就是说,数不脱离象,有象方有数。而象数又本于理,是理的表现,理即存在于象数之中,观象方可明理,倚数方可穷理’。
      ‘此种观点推广到哲学上,他(指王夫之)认为,凡天地间的个体事物,有象则有数,有数则有象,象数皆备。象指个体事物的性质可见的方面,数指其形质的量的规定性,如某事物的容量,有大有小,其运动变化的节度有多有少,即是数,并使其变化形成条理和秩序,有其规律性’。
     ‘ 蔡沈著〈洪范皇极〉,将“数”和“理”统一起来,以数解理,发展河洛之学,探索宙宇之数理法则。他极推崇数,认为“圣人因理著数,天下因数以明理”,…’。
      ‘对于易学家用以推演造化的数理哲学,许多科学家颇感兴趣。…徐光启把象数视为数理科学。’
         同时,当代哲学家认为‘客观存在的一切事物都是质和量的统一体,没有一定质和一定量的东西是不存在的。[4]
         但是在易学中,易数的变化规律在易图中最为明显,尤其是在河图和洛书中表现最为突出。
         在河洛图中,黑点表示阴气,白点表示阳气,阴阳二气概括了宇宙万物之象,或者称为质的包容形态;点的个数概括了宙宇万物之数,或称为量的度数。而整体布局和变动表达了阴阳二气的对待和流行。因此朱教授介绍说:‘方以智以河洛图式为宇宙的表法。’[1]
张其成先生说:‘因此我认为河洛已成为中国古代表述宇宙生命规律的数理模型。’又说:‘也就是说河洛数理表达的是宇宙生命结构位次之“理”,宇宙生命流动规律之“气”[5]。
        由此可见河洛图式在易学中的重要地位。所以我们说,考察河洛图中奇偶数的变化规律,即为进行‘以数解理’,探求宇宙之数理法则。
        冯友兰教授称周易是宇宙代数学,已经把易学的数字表达扩展为代数的范畴;凌志轩先生称太极图为‘宇宙统一方程式’,[6]已经把易学数理表达扩展为微分方程式了。这些易学家的观念为我们研究易学数理指明了方向。我们的目的是用近代数学方式表达某些易学数理观念,主要内容是集中在易图的数学表达上。
      要想用现代科学观点看待河洛图式的内含就必须把河洛图中的离散数扩大为连续的场。
      古太极图、俗太极图及来氏太极图都以光滑连续的曲线来表达阴阳的变化,这表明在太极图表达的范围内,已经把阴阳二气看成了连续变化的场了,宋代胡煦在解释‘河图天地交图’时说:‘不从数之散布处着眼,而在气之联贯处着眼,是通〈易〉理也’。[3]当代杨树凡先生把重卦视为六十四种特定的时空场态。[7]这些都表明在太极图及河图表达的范畴之内,易图描述的是连续场的变化特征。
张其成先生说:‘〈周易〉和〈老子〉共同构成了以阴阳2为基础以阴阳之间相互作用3为动因的宇宙生命模式,这个生成模式正是中华传统哲学宇宙生成论思想的集中体现’。[8]而在〈系辞传〉中将此模式说成:‘是故易有太极,是生两仪,两仪生四象,四象生八卦,八卦定吉凶,吉凶生大业。’简而言之,就是宋代邵雍的宇宙演化图式。勿庸置疑,河图做为‘宇宙的表法,必然包蕴着这个宇宙生成和结构规律。因此,要了解河图的内含可以以邵雍的演化图式为钥匙来进行探讨。也就是说可以从宇宙生成论的角度来了解河图的本质。易学家们在这方面做了各种努力。
        古代易学家认为河洛图可以由‘龙图三变’而来。‘一变为天地未合之数,二变为天地已合之位,三变为龙马负图之形。’元代张理所著‘易象图说’载有龙图三变图式。但是宋代人刘牧首先确定了‘河图与洛书’的具体图象,最后由朱熹认定蔡氏河图与洛书为标准形态[5]。如图1和图2。在这方面虽然古贤企图从宇宙生成的角度来理解河图,但是没有和邵雍的宇宙演化方式取得一致。


                         图 1                      图2

        二、河图和洛书的内涵
        卢泰先生说:‘所以,〈易〉之门为太极,锁为八卦,钥匙为阴阳,即用阴阳这把钥匙打开八卦这把锁。走进太极之门,才能进入〈周易〉这座神秘的殿堂’。[9]
       易学最基本的概念就阴和阳,即所谓‘一阴一阳之谓道’,阳爻‘—’阴爻‘--’是易学最基本的符号。邵雍用此二符号构筑了宇宙的生成模型[1]如图3,而先天八卦方位图(伏羲八卦方位图)图4,先天八卦次序图(伏羲八卦次序图)图5,就是根据这种生成模式构造的。

                               图 3

                 
图 4 伏羲八卦方位图                 图 5 伏羲八卦次序

       南宋蔡元定在解释‘经世衍易图’图6时表明,‘邵雍认为:天生于动,地生于静,一动一静,而天地之道尽。动之始则阳生,动之极则阴生,一阴一阳交而天之用尽。静之始则柔生,静之极则刚生,一刚一柔交,而地之用尽。’[5]可见在蔡氏看来邵雍的演化图是描述天地演化之道的。‘太极图说’认为:‘无极而太极。太极动而生阳,动极而静;静而生阴,静极复动。一动一静,互为其根。分阴分阳,两仪立焉。阳变阴合而生水火木金土。五气顺布,四时行焉。’所以说,邵雍的宇宙生成模式或先天八卦次序图恰恰很好地反映了周郭颐的宇宙万物生化论的思想。

        
      图6 经世衍易图

       张其成先生说:“此二图(指先天八卦次序图和经世衍易图),‘不仅用以解释八卦的形成过程,又表示了宇宙的结构模式,具有世界观和宇宙论的意义。’[5]
       从近代的观点来看,我们以时间和空间做为参考系,认为宇宙中事物的演化是在时间和空间中进行的,而在易学上表现为阴阳二气的流行。因此,可以把邵雍演化图图3中阴阳爻交替出现的方向(横向)视为时间(或空间)的流向,从而可以在时间和空间中表达宇宙的形成和结构模式。
        易学符号‘—’和‘--’是邵雍演化图中的元素,一方面做为前级演化的结果,‘—’和‘--’具有相对独立的意义,故可称为阳气和阴气,另一方面做为下一级演化的前提,又可以称为‘太极’,即所谓‘物物一太极’(朱子语)。因此从邵雍的演化方式中看到具有全息性内含的两支演化方式—阴仪和阳仪,即阳气的时间或空间演化和阴气的时间或空间演化。但是两种演化方式都服从于太极的本性,即‘一分为二’的分化着。
       我们规定阳气先--后—的顺序为顺行,阴气先—后--的顺序为顺行,反之为逆行。则阴气顺行演化为‘两仪’,‘四象’,‘八卦’的图式为:

    八卦 — -- — --  — -- — --
    四象       — —        — —
    两仪                  
    太极                           

     阳气顺行演化为‘两仪’,‘四象’,‘八卦’的图式为:
      八卦 -- — -- — -- — -- —
      四象 — —       — —
      两仪                        
      太极

        由此我们看到邵雍的演化图式图3即为阳气逆行的演化方式。但这里要强调说明,邵雍的阳气演化流向可以理解为时间中的,也可以理解为空间中的。
       然而易经有言‘二气相应以相与’,〈彖〉曰:‘天地不变而万物不通也,上下不交天下无邦也。’[10]这里的天地、上下皆指的是阴阳二气。朱熹讲:‘阴阳有个流行底,有个定位底。一动一静,互为其根,便是流行底,寒暑往来是也;分阴分阳两仪立焉便是定位底,天地上下四方是也。易有两义,一是变易,便是流行底,一是交易,便是对待底。’(朱子语类)方以智讲‘孤阴不生,独阳不发,’王夫之认为‘阴阳二气合一之实体为“太和”[1]这里的所谓“太和”就是高度和谐的最佳状态。张其成先生说:‘〈周易〉是生命哲学(生生之谓易),“中和”是生命赖以形成、存在、运动的基础…。’[8]这就是更加清楚的表明阴阳动态平衡是一切事物运动的条件。
       由此可见,一切事物都必须由阴阳二气两个方面构成,并且相互作用构成‘太和’态,阴阳二气的调和与交感是一切事物最本质的属性。
       邵雍的演化图式虽未明确说明是在时间或空间流向中变化,但是朱熹认为‘园图象征天’,‘方图象征地。’[1]这里的天,指的时间变化,地指的空间变化。我们从现代观点来看,取时间和空间做为参考系,则阴阳二气应做为时间和空间的函数。若从宇宙生成论的意义看,阴阳二气化生万物的过程实际上是在时间和空间中进行的。同时我们知道任何作用都是变动中的关联。因而实际事物中阴阳二气之间的相互作用,应该在阴阳二气的时间和空间的变化中表现出来。也就是说,可以用阴阳二气时间和空间变化之间的关联来表达阴阳二气的属性。因此,当考察河图表法宇宙时,必须认为河图中阴阳二气是处于时间和空间变化的互补形态,即阳气的时间变化配以阴气的空间变化,而阳气的空间变化配以阴气的时间变化。并认为这是宇宙中事物最基本的生成与结构规律。
       张其成先生介绍说:‘清代江永《河洛精蕴》认为河洛蕴含天干、地支、四维、十二向、二十四向、四象、八卦、五音、十二律、六十调等,并将河洛视为物理之根源。江氏对河洛的研究代表了古代易学家的最高水平,…[11]《河洛精蕴》载有河图含干支维向园图及河图含干支维向方图(图7、图8)。在此二图中,首先是河图配后天八卦图,我们知道,后天八卦图主要表征阴阳二气在时间和空间的流行;况且朱熹认为邵雍的园图象征天道(时间)的变化,方图象征地道(空间)的变化,因此,卦爻图本身就是表达事物在时间和空间中的状态。其次是河图配干支五行,我们知道,干支本是古代记时间和标示空间的符号,于是表明,河图中数字的变动表示的是阴阳二气在时间和空间中的变化,而且此时间和空间参考系是顺时针变动的。
                                                                                                                                            
         图 7 河图含千支维方圆图                    图8河图含千支维方方图

       因而,我们可以选用时间和空间参考系来观察和描述河图和洛书的特性。
       古人把河图、洛书与八卦相配,这就为从宇宙构造和演化方式中来理解河图和洛书的内涵提供了方向;但是古人把八卦与河图、洛书相配的主要问题在于卦画的二进数字表法与河图洛书的黑白点数不一致。
        对于河图内涵的看法,朱熹主张:‘河图之虚五与十者,太极也。奇数二十、偶数二十者,两仪也。’清代人江永反对朱熹的观点,认为河图中阴阳两仪是由八卦初画决定的。‘即乾、兑、离、震之下一画为阳。巽、坎、艮、坤之下一画为阴是也。方其生八卦,则一仪分为四,方其生四象,则一仪分为二,方其生两仪,则止有二画。[5]’可见两者都认为河图中有两仪,朱熹认为两仪就是阴阳二气自身,而江永用八卦来理解河图,认为两仪即河图的左右两部分,实际上也是阴阳二气自身。应该说他们所指的阳仪和阴仪实为相对阴阳之气的变化形态。但是从前述可知,河图做为宇宙事物之表法,应该为阴阳二气时间和空间变化的互补运动形态,即所谓的‘事物’。‘阴阳’和‘事物’是相对的概念,在一定层次上看为阴阳二气,而在另一层次上看,则为事物,也就是说阴阳又可以细分为阴阳,即阴阳者无首亦无尾,自然界中的事物在整体上看是没有一定时间和空间特征尺度的。
       老子言:‘道生一、一生二、二生三、三生万物。万物负阴而抱阳,冲气以为和。’     
       笔者体悟,前句讲太极之气在时间和空间参考系中演化而化生万物的过程。这和邵雍的演化方式一致,只是强调三次演化构成了相对独立的物态,这和用先、后天八卦图表达物态的变化一致。后句讲的是化生的条件及事物的具体形态。这个条件就是‘和’或称‘太和’。但‘和’总是相对的动态的平衡,因而所负之阴所抱之阳指的自然是动态变化中的阴阳二气,因而此时描述的是阴阳(物态)之间动态变化互补之象。
       既然说太极之气经过三次演化之后就形成了具有一定特征的物态,并且在周氏太极图(图27)中,阴静、阳动层次实为八卦中的坎、离二卦(水火匡廓图[5])。因此,若从邵雍的宇宙演化论的角度来看待河图表法宇宙(万物化生)时,可取太极之气的三阶变化——八卦——做为‘相对阴阳’之气的变动形态,而河图中的阳仪和阴仪都是这个相对阴阳之气的时间和空间演化的互补形态,并且要求满足“太和”条件。由此看来,阴仪和阳仪不是八卦自身,而是八重卦,八卦自身不可能用奇偶两个数字来表达。这与用六十四卦预测事物变化是一致的。所以,所谓阳仪就是阳气的时间变化配以阴气空间变化,而阴仪就是阴气的时间变化配以阳气的空间变化之平衡状态。
      易学中从来都认为时间和空间,是统一的,而若从‘狭义相对论’来看,时间和空间是不能分割开来的。因此,对于一个确定的运动过程而言,阴气和阳气的时间变化与空间变化是不可分离的,同时起作用的。我们所观察到的事物在时间中的变化,事实上是此时事物在空间中的变化较缓慢的近似状态,反之亦然。但是从易理看,时间为阳,空间为阴,为了区别起见,定义河图外圈为时间流向、内圈为空间流向,当外圈表达阳气变化时,叫做阳仪。当外圈表达阴气变化时,叫做阴仪。
       为了说明河图中阴阳二气时间和空间变化的互补形态与河图中数字(黑白点数)表达的一致性,并且进而从数学上延拓河图表达的宇宙数理法则,下面我们要说明卦画的数量表达方式。
        易学用爻画—和--的组合来表达事物的状态,例如八卦及六十四卦的卦象等等。近代科学则用事物的质的数量来表达事物的状态,例如电压220伏特,温度25℃等等。卦爻的基本单元是爻画—和--,而二进制数学的基本单位是1和0,若令1表示—,0表示--,则爻画组合表达的事物的状态就和二进制数学表达事物状态相对应,于是表达事物状态的爻画组合(卦)就转变为用二进制数字表达事物的量的方式了,或者说,爻画—和—除了表达事物的刚、柔、健、顺、动、静等意义之外,还具有由其组合而构成的卦象(事物)的量的表达功能。
       在同一种质的条件下,量就是质的状态的表达;而物质的量与其结构形态是完全一致的,由结构决定的。例如,原子的主量子数、轨道量子数、磁量子数等,都是原子中电子状态的表达。一切能够明确地有序地表达质的状态的数,都可以称为这种质的量。上述这些量都是无量纲的。但是有些物理量,例如,质量、电荷等等,它们是由和另外的物质的相互作用来规定的,这些是相对的量,其大小可以任意规定,即所谓单位制的选择。然而由卦爻画形态决定的物质结构的量(或卦爻画对应的二进制数),在易理中自动地满足了无量纲化的要求。
        我们取初爻(最下爻)为二进制数的首位数字,则卦爻画和二进制数字的关系如下:

111        110        101        100        011        010        001        000


—        --

—        —
--
—        --
--
—        —

--        --

--        —
--
--        --
--
--
7        6        5        4        3        2        1        0

      显然这是以‘—’表示‘有’,‘--’表示‘无’而得到的事物‘阳’量的表达;但若以‘--’表示‘有’,而以‘—’表示‘无’,则事物‘阴’量表达的对应关系为:

000        001        010        011        100        101        110        111


—        --

—        —
--
—        --
--
—        —

--        --

--        —
--
--        --
--
--
0        1        2        3        4        5        6        7

       易学中以奇数表达阳气,以偶数表达阴气,并且没有0的概念,为此我们把阴量加1,变为1 2 3 4 5 6 7 8,并择其偶数表达阴气。同时易学中用5和10组合成太极态,故不用5,因而对阳量而言,对4 5 6 7 加2后,则有0 1 2 3 6 7 8 9一组数,择其奇数表达阳气。此时应当强调指出,这样做不会影响今后对卦画本质特征的分析;因为今后我们只涉及2和4,6和8,1和3,7和9各组数之差。显然,我们这样做之后,一方面保留了阴阳二气之值在时空中变动之差总为2,另一方面可以达到在对应的时空点上,阴阳二气之差总为5。
       通过上述的分析,我们看到:用卦爻画表法宇宙的形态和在河图中用黑白点数表法宇宙的形态是相同的,这是与用八卦配河图的表法一致的,这是‘龙图三变’所做不到的地方。
       承前所述,阴阳二气时间和空间的演化必须满足‘保太和’这一条件,即如易经言:‘保太和,乃利贞’,王夫之称为‘阴阳二气合一之实体为太和’。所谓‘太和’就是指动态的平衡。因此从静态意义上讲,就是在对应的时间和空间点上,阴阳二气之差的绝对值保持为5。而从动态意义上讲,就是阳气的时间变化等于阴气的空间变化,同时,阴气的时间变化又要等于阳气的空间变化。
       在满足上述要求时,阳气顺行阴气也顺行的黑白点数搭配方式为(以数值增加为顺行):

        阳气时间变化配阴气空间变化,即:1 3 7 9 1 3
                                                                 2 4 6 8

        阴气时间变化配阳气空间变化,即:  2 4 6 8 2 4
                                                                  1 3 7 9

       在园道(类循环)运动意义上可以做成园图。我们以—和--为太极,或称—和--为整体论域,同时阳气(奇数)和阴气(偶数)的变动周期均为 ,且相角差为 。这样以箭头表示为时间和空间流向,则阳仪(阳时间变化为外园配以阴空间变为内园)如图9;而阴仪(阴气时间变化为外园配以阳气空间变化为内园)如图10。

                    7                                     2
                   2                                      7
     3  8                   4  9          8  3               9  4
                   6                                      1
                   1                                      6
                  图9                                图10

       易有简意,可以认为河图是上述阴阳两仪合而简化的结果。如果我们隐去阳仪的左下半部分,隐去阴仪的右上半部分,然后接合在一起画在同一个园周上,并且在中间添加5与10表示太极,则得到图11。        

                                   7
                                   2
                                  10
                                   5
                                   1
                                   6
                                图11

       看得出来,这就是河图用黑白点数表达的形态,即图1。
        这里我们和朱熹及江永的看法比较,可知他们没有指明河图是阴阳二气互补的形态,因而得不到河图中数字表达与相应的卦爻画表达的一致性。当然,这是当时的数学水准所决定的。
       古贤认为‘内外合为河图’,‘相对交为洛书’[5]。如图12和图13。由于奇数表示阳气,


       图 12 内外合为河图               图 13相对交为洛书

       偶数表示阴气,而从‘阴阳二气合一之实体为太和’的角度看,河图中不同方位上都由阴阳二气构成,从而表达事物的状态。但是从洛书看到,在洛书中阴阳二气是交替出现的,显然其强调的是事物在流行中阴阳二气相摩相荡的姿态。而要要求构造宇宙结构模型,则必须将其还原为阴阳相合的形态。我们把洛书中偶数顺针旋转90°,用1 3 4 2 做内圈,以6 8 9 7 为外圈,构成图14形式,图14可以认为是洛书数码表达图式,或黑白点表达图式即图2。

                   9                     
                   4                     
     8  3                  2  7         
                   1                     
                   6                     
                  图14                   

       致此我们从邵雍的宇宙演化方式出发构造了河图和洛书的图式,图11和图14。
       上述两个图式是表示事物园道运动或类园道运动的基本图式,可以用数字表达,也可以用卦爻画表达。古人以太极图、八卦图与河图洛书相配表达事物的运动状态。今后我们以河图洛书为基点讨论易理的数学表达方式。
        由上述的分析中,我们了解到了河图和洛书的内涵:
        1、河图和洛书中的阴阳二气是时间和空间的函数,河图和洛书中的奇偶数字变动,表达的是阴阳二气在时间和空间中变化的平衡的态势,并且时间和空间在阴阳二气的演化中占据着同样的地位;
        2、河图和洛书都是太极之气生化万物的表述,它和老子的所谓“道”,和周氏太极图说及邵雍的宇宙演化图式都是一致的,都是用以表达宇宙结构和运动规律;
       3、河图的阳仪是由阳气的时间变化配以阴气的空间变化构成,阴仪由阴气的时间变化配以阳气的空间变化构成,两种变化是互补地处于动态平衡之中;而且对于每一个对应的时空点上,阴阳二气互相制约着,满足阴阳之差的绝对值为5的条件,于是实现了‘保太和’,但是在图中间处无时间和空间流向意义,因而表示太极阴阳未分的形态;
       4、河图和洛书是以简化的形式表达事物的状态,其中隐去了阳仪的左下半部和隐去了阴仪的右上半部,然后接合而构成的。
       5、河图的数字变化是离散的,其中只有四正位数字,但要补以四偶位数字后,则离散的程度要变小,由此可知再深入细分后,离散度会更小,以致趋向于无限小,于是阴阳二气就可以看做连续的场了。
         以上这些观念对于我们用近代数学方法讨论河洛数理,以致延拓后表达易学一般数理模型是十分重要的。
        三、易学方程及其解
        恩格斯说:‘笛卡儿的变数是数学中的转折点。因此运动和辩证法便进入了数学,因此微分和积分也就立刻成为必要的了…’,‘只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态,并且也表明过程,即运动’。[12]而河图不仅仅表明阴阳二气和谐的事物状态,即满足阴阳二气之差的绝对值为5,同时奇数和偶数的变化互补也正是表明了由阴阳二气构成的事物运动的过程。前面已经说明阴阳二气可以看成是连续的场,因而我们采用变数的概念建立微分方程,这样就可以构成河洛数理现代破释的一种方法。下面我们以分析河图为例说明如何建立易学微分方程。
        从前面的分析中,我们已经知道,河图的数字用现代的观点来看是表示物质的量,奇数表示阳气的量,偶数表示阴气的量,阴阳二气都是时间t和空间x(看做一维的)的函数。我们用B(x,t)表示阳气,A(x,t)表示阴气,河图中奇数之差表示阳气的变化量 ,偶数之差表示阴气的变化量 。
        我们把河图内外圈看成连续的曲线,外圈表示阴阳二气的时间流变,内圈表示阴阳二气的空间流变,园心处无时间和空间流向,5与10共居,阴阳量不变,故表示阴阳未判的太极态。我们加以斜线 分开阴阳两仪,右上侧为阳仪,左下侧为阴仪。我们取 方向为时间和空间角零点的顺时针极坐标系,如图15所示。我们把阳仪和阴仪分开表达,由前面叙述可知阳仪如图16,

                       7
                       2
                     10
                      5
                      1
                      6   θ
                        
图15
                  

                       7
                       2
                     10
          3  8       5     4  9
                      6
                      1   θ
   
                        
图16
                      2
                      7
                     10
                      5
                      1 θ
                      6
                     图17

        阴仪如图17。这样在阴仪中,对于角度的变化  ,对应的时间变化为 ,对应的空间变化为 ;相应地阳气量的变化为 ,阴气量的变化为 ,从图中看到阴气量和阳气量的变化均为2,即8-6=3-1,故可写为 = 。但易学中的阴阳量只是一种符号形态,是普适的,是一切有形物质的泛称,因而阴阳量应该是无量纲的。可是我们在上述中,外圈付与时间流变,内圈付于空间流变,因此在考虑阴阳时空变化互补时,必须使其微商具有相同的量纲,于是我们把时间变化 乘以c,c具有速度的量纲,这样就使得c 和 具有相同的量纲。显然对于 的变化,对应的时间角度化为 ,对应的空间角变化为 ,即 ,由图中知道,对于阴仪,阴气和阳气相应变化为 和 ,有方程:
                             (1)
       但是A和B可以看做连续场,此时方程(1)可以看做是平均状态,将此平均状态化为任一时空点的瞬时状态,于是取 →0。 →0,即有方程:

       同理对于阳仪有方程: ,
      于是对河图而言得到方程组:
       在c=常数时,有方程组:
       应当注意,我们考虑的是阴阳二气的场态,x和t是场的坐标,虽然存在 关系,但是c是一个无量纲化系数,c不标示 的物理关联, 都表示单独变化,因而不能从上式确定x和t的关联。但表示质点运动时,位移变化 和时间改变 有关联,此时可写为
其中c表示质点的瞬时速度。
       方程(2)、(3)、(4)、(5)即为表达河图数理法则的微分方程式。
       显然上述方程就是河图中阴阳函数应满足的方程式,这是建立在邵雍的演化图式——阳气时间、空间顺行,阴气时间、空间也顺行——基础之上的,而且要求阴阳二气之差的绝对值为5的条件。但是实际上阴阳二气的变化在时间和空间中是可顺可逆的,并且放弃阴阳之差的绝对值为5的要求后,可能存在多种搭配方式;这些方式已经不只限于河图的表达,而是延拓为易学数理的一般表达方式。下面我们从更加普遍的意义上建立易学数理方程式。
       看得出来,邵雍的演化图式用数码表达并延拓为连续的场后,实际为阶梯函数表示的线段,例如:                    

                          9              8
                    7   及         6
                 3              4
              1               2

            我们把可能的组合给出如下:
      1、阳气时间、空间顺行,阴气时间、空间顺行,数码组合为:
      1 3 7 9    及    1 3 7 9 1 3
      2 4 6 8             2 4 6 8
      2、阳气时间、空间顺行,阴气时间、空间逆行,数码组合为:
      1 3 7 9    及    1 3 7 9 1 3
      8 6 4 2             8 6 4 2
      3、阳气时间、空间逆行,阴气时间、空间顺行,数码组合为:
      9 7 3 1    及    9 7 3 1 9 7
      2 4 6 8             2 4 6 8
      4、阳气时间顺行、空间逆行,阴气时间顺行、空间逆行,数码组合为:
      7 9 3 1    及    7 9 3 1 7 9
      6 8 4 2             6 8 4 2
      5、阳气时间逆行、空间顺行,阴气时间顺行、空间逆行,数码组合为:
      1 3 9 7    及    1 3 9 7 1 3
      6 8 4 2             6 8 4 2
      6、阳气时间、空间顺行,阴气时间顺行、空间逆行,数码组合为:
      1 3 7 9    及    1 3 7 9 1 3
      4 2 6 8             4 2 6 8
      7、阳气时间顺行、空间逆行,阴气时间、空间顺行,数码组合为:
      3 1 7 9    及    3 1 7 9 3 1
      2 4 6 8             2 4 6 8
       看得出来,以上14种组合中,2和3,4和5,6和7之间的组合,可以用相同的处理方法来解决,因而实为四种组合,以下我们称为a、b、c、d组合。
       在求解上述组合对应的方程之前还要说明:
        1、我们使用的搭配符号实际上是隐去阳仪和阴仪的另一半的结果,看得出来,另一半正是阳气和阴气内外圈对调一下,显然稳去的方程和实际采用的方程完全相同;
        2、一般讲二阶偏微分方程需要一定的初条件和边条件才能确定函数的值,而河图(包括延拓形式)做为宇宙的一般表法,是无法规定其初条件和边条件的。但是阴阳函数的角周期相同,我们可以从阴阳函数的相角关系及满足的原始二元一阶微分方程来考虑阴阳函数应

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