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黑白斋主——奇门探索录

博学之,审问之,慎思之,明辨之,笃行之。

 
 
 

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60花甲、足球碳与黄金分割[转]  

2011-05-19 11:55:18|  分类: 奇门现代科技资料 |  标签: |举报 |字号 订阅

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截角二十面体是由12个正五边形和20个正六边形组成的半正多面体,共具有32个面。如果将其正六边形的边延长,将这些交点连起来,就得到一个正二十面体。足球的模样亦即截角二十面体。它的形状跟足球和富勒烯C60一样。其对偶多面体为五角棱锥面十二面体。若以其中心为原点,其顶点的坐标为(0,±1,±3φ), (±1,±3φ,0), (±3φ,0,±1), (±2,±(1+2φ),±φ), (±(1+2φ),±φ,±2), (±φ,±2,±(1+2φ)), (±1,±(2+φ),±2φ), (±(2+φ),±2φ,±1), (±2φ,±1,±(2+φ)),其中φ = (1+√5)/2,黄金分割数;此时棱长为2,它有90条棱和60个顶点。

60花甲、足球碳与黄金分割[转]

自1985年克罗托和斯莫利等人发现C60分子以后,为了解释这种圆形分子的稳定性,他们以富勒的短程线圆顶结构原理为基础,设想它是由60个碳原子组成的一个球形32面体,其中包含20个六边形和12个五边形,与现代足球表面的拼皮花样完全相似。1989年,霍夫曼和克拉茨奇默等的红外光谱测定结果与根据C60分子结构所作的理论计算完全相符,初步证实了理论预测。不久,美国国际商业机器中心的阿尔梅顿研究小组的唐纳德·贝舍恩(D.S.Bethene)等人,对C60进行了一系列测试。由于巴基球在室温下会高速旋转,他们将样品冷却至液氦温度使之减速,然后用隧道效应扫描仪拍摄了C60的照片,成为巴基球的第一张直观证据。随后他们又用拉曼光谱和红外光谱分析其结构,也证明了克罗托和斯莫利的结构设想。卡佩拉蒂(R.L.Cappelletti)等人的非弹性中子散射实验以及高分辨率电子能量损失谱,也有力地支持了C60的足球模型之说。 1991年4月,美国加州大学的化学家乔尔·霍金斯(J.Hawkins)等发表了第一批C60分子结构的X射线粉末衍射照片,最终完全确定了巴基球的结构。由于巴基球分子以每秒100万次的速度高速自旋,不能用普通方法拍摄(对应电磁波波长约为300米,临界区大小约为47.77米)。他们便在巴基球上加了一个以锇原子为基础的取代基,该取代基形似两只兔子耳朵,使C60晶体中的分子不能自由旋转,才最终拍摄了C60结构的X光衍射照片,从而彻底消除了对巴基球及其结构的各种怀疑。从此巴基球才以其精巧绝伦的对称美,理直气壮地呈现在人类的面前。

C60分子点群为Ih,因而具有五重对称性。核磁共振谱证明,分子中的60个碳原子完全等价,其成键特征要比金刚石和石墨复杂得多。由于球面弯曲效应和五圆环的存在,引起碳原子轨道杂化方式的改变。π电子轨道不再是像石墨结构中那样的纯p轨道,而是含有一定的s轨道的成分。C60分子中的杂化轨道介于石墨的sp2和金刚石的sp3杂化之间,每个碳原子以sp2.28杂化轨道与周围的碳原子形成3个δ键,再以s0.09p杂化形成一个π键。δ键沿球面方向,而π电子云则垂直分布在球的内外表面,形成了三维球状芳香型分子。C60分子中的化学键可分为单键和双键:20个六边形中共有30个双键,其键长为0.139纳米,称为短键;所有的五边形环包含60个单键,其键长为0.146纳米,亦称长键。这样,在C60分子中的每个碳原子均与邻近原子形成4个均等的共价键,达到稳定结构。C60直径仅为0.71nm。C60的这种结构特点,决定了它丰富的物理化学内涵以及可能具有的广泛而神奇的用途。

与金刚石和石墨不同,富勒烯晶体是分子晶体,分子内的化学键已达饱和,不需要其他原子来满足表面化学键的要求。因此可以预计,它应比石墨具有更高的稳定性。C60分子中共有360个电子,因此它又是一个复杂的多体结构(注:60*6=360,六层玲珑结构恰应六爻)。由于C60是一个封闭的球形电子壳层和具有五重对称性,在某些方面显示出“大原子”的性质。日本的斋藤等首先采用局域密度近似(CDA)下的密度泛函理论,计算了C60分子及其固体的电子结构。它在富勒烯新家族中形成了五边形互不联结的最小分子,60个碳原子全部等价,这样使弯曲的键应力均匀地分布到所有碳原子上。一些电子可以脱离原位变成离域电子。这种单双键交替的结构特征比芳香族化合物还要明显,因而应表现出芳香族化合物的许多共性。C60的魅力不仅仅在于它漂亮无比的对称美,而且实验业已证明,它是已知最具有化学多样性的分子之一,因而更为化学家所倾倒和迷恋。

其实,我们将正二十面体截去 12个顶点剩下的多面体就是C60。那么怎么截呢?我们过二十面体的30条棱的三等分点去截12个顶点,由于1个顶点连出了5条棱,截面显然是个正五边形;原来的正三角形面在截取3个顶点后就变成正六边形了,原来的20个正三角形面就变成C60中的20个正六边形面了

1857年,哈密尔顿在给他的朋友的一封信中,首先谈到关于十二面体的一个数学游戏(如图10.31所示),能不能在图中找到一条环,使它含有这个图的结点一次且仅一次?他把结点看作是一座城市,连接两个结点的边看成是交通线,于是它的问题是能不能找到旅行路线,沿着交通线经过每一个城市恰好一次,再回到原来的出发地?他把这个问题称为周游世界问题。

    这个游戏扩展到一般的图上就是:给定一个图,是否能找到一个环,它通过图G的每个结点一次且仅一次?

    哈密尔顿的十二面体图上存在一条哈密尔顿环,按照结点编号的顺序:1-2-3…20-1。与欧拉图不同,确定一个图是否为哈密尔顿图是很困难的,目前还不存在有效的算法。但许多哈密尔顿图的充分条件都被证明,这里介绍其中的两个,其证明过程具有较好的示范意义,而且在研究哈密尔顿图的性质中得到了广泛的应用。

60花甲、足球碳与黄金分割[转]

    注:每个面可以看成类似细胞膜的双层膜结构,则有内外两层面,各32面,共成64数,恰应64卦。而60个顶点,应60花甲。32个面中,有10个正六边形面可以作为骨架,分布于一赤道面上。考虑到原先的正20面体是三个两两垂直的黄金矩形,则其中心连线均过球心对应三两两垂直黄金矩形的对角线。 连接12个正五边形中心即构成正二十面体,而连接20个正六边形中心即构成正12面体。因此,足球碳结构实际上是正二十面体和正12面体的混合体。中正五边形沿中轴平行相对交错,构成正十边形,类似DNA纵投影。

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