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黑白斋主——奇门探索录

博学之,审问之,慎思之,明辨之,笃行之。

 
 
 

日志

 
 

洛书中的数字规律 3  

2011-05-31 18:35:23|  分类: 河洛八卦 |  标签: |举报 |字号 订阅

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万字符在洛书中的数字规律 

洛书是数字一、二、三、四、五、六、七、八、九组成的特殊图式。形状为三行三列的正方形。  

四九二  

三五七  

八一六  

这里采用的是数字形式,比较简略,也可以采用圆点的形式。  

万字符,形状为卍,这是佛家的符号。这个图形非常古老,人类很早就认识了。洛书中,本来没有任何连线,只有数。但是,如果添加连线的话,可以出现万字符的形式。  

洛书中的数字规律 3 - zhangguojun1181 - 黑白斋主——奇门探索录

取两张洛书,按照下面的方法连线。  

第一张,五九相连,九四相连;五三相连,三八相连;五一相连,一六相连;五七相连,七二相连。这是正向万字符。  

第二张,五九相连,九二相连;五七相连,七六相连;五一相连,一八相连;五三相连,三四相连。这是反向万字符。

这两张洛书连线后,对照着看,按照同样的方法取数,可以得出非常有趣的数字规律。  

先看内旋模式。  

正向万字符中,取数依次为:四十九,二十七,六十一,八十三;反向万字符中,取数依次为:二十九,四十三,八十一,六十七。  

49+27+61+83=220

29+43+81+67=220  

49^2+27^2+61^2+83^2=13740  

29^2+43^2+81^2+67^2=13740  

49^3+27^3+61^3+83^3=936100  

29^3+43^3+81^3+67^3=936100  

注:9^2表示九的平方,得数为八十一;9^3表示九的立方,得数为七百二十九,其余类似。

再看外旋模式。  

正向万字符中,取数依次为:九十四,七十二,十六,三十八;反向万字符中,取数依次为:九十二,三十四,十八,七十六。  

94+72+16+38=220  

92+34+18+76=220  

94^2+72^2+16^2+38^2=15720  

92^2+34^2+18^2+76^2=15720  

94^3+72^3+16^3+38^3=1262800  

92^3+34^3+18^3+76^3=1262800  

这个结果是非常惊人的。算式中,出现了平方,这个并不意外;意外的是出现了立方,确实非常奥妙。  

上面这组算式,在取数的时候,没有用上五,只取了两位数。如果取三位数的话,五相当于旋转中心。看上去,内旋和外旋,更容易区分。  

仍然是先看内旋模式。  

正向万字符中,取数依次为:四百九十五,二百七十五,六百一十五,八百三十五;反向万字符中,取数依次为:二百九十五,四百三十五,八百一十五,六百七十五。  

495+275+615+835=2220 

295+435+815+675=2220  

495^2+275^2+615^2+835^2=1396100  

295^2+435^2+815^2+675^2=1396100  

495^3+275^3+615^3+835^3=956875500  

295^3+435^3+815^3+675^3=956875500  

再看外旋模式。 

正向万字符中,取数依次为:五百九十四,五百七十二,五百一十六,五百三十八;反向万字符中,取数依次为:五百九十二,五百三十四,五百一十八,五百七十六。 

594+572+516+538=2220 

592+534+518+576=2220  

594^2+572^2+516^2+538^2=1235720  

592^2+534^2+518^2+576^2=1235720  

594^3+572^3+516^3+538^3=689842800  

592^3+534^3+518^3+576^3=689842800  

在前面漫谈算术的文章里,我们首先计算的就是洛书,取数的方法很普通,多是纵、横、斜方向取数。按照万字符的形式取数,所得的结果出现了立方之和相等的现象,比前面所列举的算术层次要高一级。  

古人云:文章本天成。万字符在洛书中展现的神奇,是他们自身本来就有的数字规律,我们只是记录了而已。想起佛家的礼节“合十”,也许这个名词本身也在启示我们数的奥妙吧。

洛书与十进位计数体系  

历史上一直流传的洛书,本身没有任何数字,只有圆点。从圆点形式,到中文数位形式,最后到今天的阿[啊]拉[啊]伯数字形式,看上去越来越简略,要记录这个图式所需的书写量越来越少。但是,形式越接近今天的人,也越容易被今天人的观念所局限。  

这篇正好是第十篇,我们就来谈点与十有关的话题吧。洛书只有九数,不过相对两数之和都是十。看上去,洛书与十连系密切。  

我们前面作算术,写了许多数位计算的实例。仔细想一下,发现洛书本身并没有提供数的进位制表示。这样看的话,洛书与十进位计数体系没有固定的连系。我们用十进位计数体系,完全是因为今天的人类用的是这个计数体系。历史上,玛雅人采用的是二十进位计数体系。更古的时候,有的民族采用了六十进位计数体系。这些计数体系下,人们看洛书,肯定会在自己的体系内作一番推演。  

按照这个看法,我们前面写的那些数字计算,实际上都可以说成是数学公式。下面举一个例子说一下。  

四九二  

三五七  

八一六  

偶数圆周  

正向取数:四九二七六一八三,二七六一八三四九,六一八三四九二七,八三四九二七六一。  

反向取数:四三八一六七二九,八一六七二九四三,六七二九四三八一,二九四三八一六七。  

数之和等  

49276183+27618349+61834927+83492761=222222220  

43816729+81672943+67294381+29438167=222222220 

平方和等  

49276183^2+27618349^2+61834927^2+83492761^2=13985514749033740  

43816729^2+81672943^2+67294381^2+29438167^2=13985514749033740  

立方和等  

49276183^3+27618349^3+61834927^3+83492761^3=959177030199175157646100  

43816729^3+81672943^3+67294381^3+29438167^3=959177030199175157646100  

这只是计算提供的一个结果,结果表明加法等和现象存在。我们取数“四九二七六一八三”,接著表示为“49276183”,经过这个转换,进入了十进位计数体系。可是这个转换完全可以采用不同的计数体系。  

这样看的话,我们取数,实际上是在给出下面“加法等和方程组”的一组解。  

数之和等:a+b+c+d=e+f+g+h;  

平方和等:a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+g^2+h^2;  

立方和等:a^3+b^3+c^3+d^3=e^3+f^3+g^3+h^3。  

这裏引用的“偶数圆周”的例子,可以看成是下面的形式。

a=4x_1+9x_2+2x_3+7x_4+6x_5+1x_6+8x_7+3x_8,  

b=2x_1+7x_2+6x_3+1x_4+8x_5+3x_6+4x_7+9x_8,  

c=6x_1+1x_2+8x_3+3x_4+4x_5+9x_6+2x_7+7x_8,  

d=8x_1+3x_2+4x_3+9x_4+2x_5+7x_6+6x_7+1x_8,  

e=4x_1+3x_2+8x_3+1x_4+6x_5+7x_6+2x_7+9x_8, 

f=8x_1+1x_2+6x_3+7x_4+2x_5+9x_6+4x_7+3x_8,  

g=6x_1+7x_2+2x_3+9x_4+4x_5+3x_6+8x_7+1x_8,

h=2x_1+9x_2+4x_3+3x_4+8x_5+1x_6+6x_7+7x_8。  

其中x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8为参数。如果对参数选取某些数值代入,我们就进入了不同的计数体系。  

对於加法等和方程组来说,我们写出这样的一组解并没有作任何“解方程”的事情,完全是由洛书的回圈机制自动给我们提供的。 

不同的文化,曾经都有自己的进位制计数体系,这似乎是个非常有意思的话题。玛雅人采用了二十进位计数体系,在他们的文化中,有关於一九九二年到二零一二年地球人类处於银河净化期的研究。  

今天的人采用十进位计数体系,这个数字十容易让人想到十天干。还有的民族曾经采用过十二进位计数体系,这个体系或许与十二地支有关。至於采用六十进位计数体系的,那完全可以理解为六十甲子的一种表现。六十甲子同样有预测功能,比如一九四三年和二零零三年,相隔六十年。二零零三年是癸未年,萨斯病很厉害的。历史记载,一九四三年癸未年,北京霍乱流行。

虽说洛书与十进位计数体系没有固定的连系,我们仍然可以习惯於在十进位计数体系中生活,只是对计算中获得的结果要作广义的理解。这样才不会被十进位计数体系所局限。

洛书中蕴涵着天地人转盘  

在写这篇之前,刚得到一个消息,我的朋友莲告诉我,前天的漫谈不知所云。这对我来说,真有点无言以对呢,也许是我的表达方式还不太完善吧。确实,我的文章笔法比较笨拙。多年来,数字已然成了我思维的方式,这一点让朋友们看了我的文后感觉枯燥。既然选择了这个算术漫谈的形式,在数言理,那还是继续吧——写完这第九篇。我想,太具体的细节,太多的设想,或许不必都写了。通过这个漫谈,讲出一点洛书中有趣的数字现象,我的目地也就达到了吧。天下之大,看文的朋友中,一定会有对这些感兴趣的。请相信我,这些算式都是九数神思和反复演算后写下的结果。  

我们在前面的算术漫谈中,已经揭示了洛书中存在着数字等和、平方等和、立方等和的一种自动生成机制。实际上,从数学的角度看,这相当于在解方程。  

a+b+c+d=e+f+g+h  

a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+g^2+h^2  

a^3+b^3+c^3+d^3=e^3+f^3+g^3+h^3 

这是一组方程,含有八个未知数,次数最高是三次。我们每次选取的数,实际上都在给出这方程的一组解。  

然而,这种解方程的办法实在是非常有趣,我们并没有任何解方程的代数运算。完全是靠洛书自身的旋转机制生成方程的解。也就是说,这些解是生成的,而不是对方程作某些代数操作解出的。 

这组方程中,数字等和,平方等和,立方等和,非常有规律。这里的方程次数,一,二,三,渐次升高。这个现象引起我的深思,为什么会这样呢?最终,数字三让我认识到也许与天地人三才之道有关吧。 

天在上,地在下,人生天地间。这是人类最直观的认识。既然我们是用旋机来解释循环现象的,那么一张洛书,自然可以看作是一部旋转机器了。如此观之,天地人三才,那应当需要三张洛书了。接着,我产生了一个新的想法,将三张洛书叠放在一起。这时,每部洛书都是一部旋机。整体上看,构成了天地人三层转盘系统。  

如果用图式来表现,我们可以简单设计一下。  

取三张圆盘,半径依次增大。将其叠放在一起,中间立一根轴,贯通三张盘。最下面放大盘,在中间放中盘,最上面放小盘。将小盘称作天盘,中盘称作人盘,大盘称作地盘。接着,在每张圆盘的边缘处均匀划分八个刻度,一律按照顺时针方向,依次写上数字四、九、二、七、六、一、八、三。最后在轴上加一个指针。  

四九二  

三轴七  

八一六  

在这个转盘系统中,没有用数字五,洛书中数字五的位置安放了一根贯通三才的轴。看文的朋友,如果有兴趣的话,请自己动手制作这样的一个转盘吧。要想看清楚后面的数字实例,有个实际的转盘模型,会更容易一点。  

和前面的旋机形式一样,在这个转盘系统中,同样出现非常有趣的数字规律。  

天盘:正向取数为a1,b1,c1,d1;反向取数为e1,f1,g1,h1。  

人盘:正向取数为a2,b2,c2,d2;反向取数为e2,f2,g2,h2。  

地盘:正向取数为a3,b3,c3,d3;反向取数为e3,f3,g3,h3。  

那么有下面的“转盘数字规律”。 

a1+b1+c1+d1=e1+f1+g1+h1  

a1*a2+b1*b2+c1*c2+d1*d2=e1*e2+f1*f2+g1*g2+h1*h2  

a1*a2*a3+b1*b2*b3+c1*c2*c3+d1*d2*d3=e1*e2*e3+f1*f2*f3+g1*g2*g3+h1*h2*h3  

[注:这里“*”表示乘法。]  

注意,我们总要求各层转盘之间保持一种奇偶同性的状态。比如天盘的刻度五、人盘的刻度一、地盘的刻度九正好对齐;再比如天盘的刻度二,人盘的刻度六,地盘的刻度二对齐。如果采用古人的办法,将偶数当作阴数,奇数当作阳数,那么这种要求非常象天干地支组合成六十甲子的方式,阳干对阳支,阴干对阴支。反过来说,六十甲子系统,也是一种天干地支转盘系统,只不过是天盘地盘两层而已。 

对于整个天地人转盘系统来说,有一个极特殊的情形,也就是三层转盘取数结果一致。 

此时,正向取数a1=a2=a3=a,b1=b2=b3=b,c1=c2=c3=c,d1=d2=d3=d;  

反向取数e1=e2=e3,f1=f2=f3=f,g1=g2=g3=g,h1=h2=h3=h。 

按照前面的转盘数字规律,得到的恰好是下面的“旋机数字规律”。  

a+b+c+d=e+f+g+h  

a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+g^2+h^2  

a^3+b^3+c^3+d^3=e^3+f^3+g^3+h^3  

可见,我们前面认识的洛书旋机数字规律,正是转盘数字规律的一种特殊表现。 

现在,我们来看一些实际演算的数字算式。  

先看个选取二位数的。此时,指针指向天盘数字六。设定天盘数字六、人盘数字四、地盘数字二,此三者对齐。  

天盘正向取数:六一,八三,四九,二七。  

人盘正向取数:四九,二七,六一,八三。  

地盘正向取数:二七,六一,八三,四九。  

天盘反向取数:六七,二九,四三,八一。  

人盘反向取数:四三,八一,六七,二九。  

地盘反向取数:二九,四三,八一,六七。  

61+83+49+27=220 

67+29+43+81=220  

61*49+83*27+49*61+27*83=10460  

67*43+29*81+43*67+81*29=10460  

61*49*27+83*27*61+49*61*83+27*83*49=575300  

67*43*29+29*81*43+43*67*81+81*29*67=575300  

再看个特殊的例子,仍然选取二位数。此时,指针指向天盘数字四。设定天盘数字四、人盘数字四、地盘数字四,此三者对齐。  

天盘正向取数:四九,二七,六一,八三。  

人盘正向取数:四九,二七,六一,八三。  

地盘正向取数:四九,二七,六一,八三。  

天盘反向取数:四三,八一,六七,二九。  

人盘反向取数:四三,八一,六七,二九。  

地盘反向取数:四三,八一,六七,二九。  

49+27+61+83=  

43+81+67+29=  

49*49+27*27+61*61+83*83=  

43*43+81*81+67*67+29*29=  

49*49*49+27*27*27+61*61*61+83*83*83=  

43*43*43+81*81*81+67*67*67+29*29*29=  

接着看一个选取四位数的例子。此时,指针指向天盘数字四。天盘数字四、人盘数字八、地盘数字二,此三者对齐。  

天盘正向取数:四九二七,二七六一,六一八三,八三四九。 

人盘正向取数:八三四九,四九二七,二七六一,六一八三。  

地盘正向取数:二七六一,六一八三,八三四九,四九二七。  

天盘反向取数:四三八一,八一六七,六七二九,二九四三。  

人盘反向取数:八一六七,六七二九,二九四三,四三八一。  

地盘反向取数:二九四三,四三八一,八一六七,六七二九。  

4927+2761+6183+8349=  

4381+8167+6729+2943=  

4927*8349+2761*4927+6183*2761+8349*6183= 

4381*8167+8167*6729+6729*2943+2943*4381=  

4927*8349*2761+2761*4927*6183+6183*2761*8349+8349*6183*4927=  

4381*8167*2943+8167*6729*4381+6729*2943*8167+2943*4381*6729= 

后面这两个例子,看文的朋友,如果有兴趣,就当作作算术练习吧。更多的例子,更大数目的例子,我们就不再罗列了。实际上,取数的方法,大家制作个转盘模型,细心参照这里给出的例子,自然会明白的。 

现在,我们可以对从前的数字等和、平方等和、立方等和这些加法等和现象给出一个简单的说明了。数字等和,是天盘自身的数字规律体现;平方等和,是天盘对人盘相互作用的数字规律体现;立方等和,是天盘对人盘以及地盘相互作用的数字规律体现。 

从洛书,到万字符,到旋机,再到转盘,我们一路走来。你看,小小的洛书,多么的神奇啊!确实,简单的九数演出神奇的算式,玄妙的排列蕴涵独特的结构,这一切是多么的不可思议啊! 

洛书转盘与勾股乘方  

中国人很早就知道“勾三股四弦五”,现存于世的古老天算著作《周髀算经》就记载了这一结果。一般来说,直角三角形的两直角边平方和等于斜边的平方。三三而九,四四十六,五五二十五,正好有这样一种加法关系。  

当年,文渊阁大学士李光地(公元1642年—1718年),奉康熙皇帝之命,率四十九名进士,编纂《周易折中》,搜罗百代之精华,集萃前贤之大成。此书附有易学启蒙篇章,开河洛勾股之先河。  

后继者江永(公元1681年—1762年),字慎修,著作《河洛精蕴》。江永七十九岁时,作此书,阐奥发微,一生研究所得,尽在其中。  

二位大儒的著作,在清代,产生了非常深广的影响。九数这篇短文的题目“勾股乘方”四字就取自《河洛精蕴》,在他们的基础上,我稍微作了点引申。 

四九二  

三五七 

八一六 

(一)洛书转盘  

看了古人留下的许多洛书图式,我认定万年淳的外圆内方洛书图式最适合表现转盘旋机结构。在《洛书旋机与全息结构》这篇短文中,我们引过一句话——天道左旋,地道右转。这是古人留下的观点,在洛书中,可以有非常简明的数字表现。  

[1]阳数天盘  

□,九,□  

三,◎,七  

□,一,□  

左旋三倍:一三九七  

三:1*3=3,化为1*3≡3(模10);  

三→九:3*3=9,化为3*3≡9(模10);

九→七:9*3=27,化为9*3≡7(模10); 

七→一:27*3=81,化为7*3≡1(模10)。  

右旋七倍:一七九三  

一→七:1*7=7,化为1*7≡7(模10);  

七→九:7*7=49,化为7*7≡9(模10);  

九→三:9*7=63,化为9*7≡3(模10);  

三→一:3*7=21,化为3*7≡1(模10)。  

[2]阴数地盘  

四,□,二  

□,◎,□  

八,□,六  

右旋七倍:二四八六  

二→四:2*7=14,化为2*7≡4(模10);  

四→八:4*7=28,化为4*7≡8(模10);  

八→六:8*7=56,化为8*7≡6(模10);  

六→二:6*7=42,化为6*7≡2(模10)。  

左旋三倍:二六八四  

二六:2*3=6,化为2*3≡6(模10); 

六八:6*3=18,化为6*3≡8(模10);  

八四:8*3=24,化为8*3≡4(模10);  

四二:4*3=12,化为4*3≡2(模10)。  

很明显,这里写成模10的同余式,是用观察乘法所得的结果来描述转盘数字循环模式的。 

洛书口诀中,有一句“左三右七”,我们这里正是用这种模式来解释的。左旋三倍,右旋七倍,这是对天盘和地盘都适用的统一模式。可以说,这是最佳的选择。

 (二)周期循环  

在《周易折中》里,记有“河图为加减之原,洛书为乘除之原”的说法。实际上,在洛书中有完全的加减乘除四则算术规律。从乘方的角度来看洛书,更能够展现出旋转的特点。

[1]阳数天盘  

□,九,□  

三,◎,七  

□,一,□  

一的乘方个位数字总是按照一循环,周期为一。  

三的乘方个位数字总是按照三九七一循环,周期为四。  

七的乘方个位数字总是按照七九三一循环,周期为四。  

九的乘方个位数字总是按照九一循环,周期为二。 

1^1=1;1^2=1,……  

3^1=3,3^2=9,3^3=27,3^4=81;3^5=243,……  

7^1=7,7^2=49,7^3=343,7^4=2401;7^5=16807,……  

9^1=9,9^2=81;9^3=729,……  

[2]阴数地盘  

四,□,二  

□,◎,□  

八,□,六  

二的乘方个位数字总是按照二四八六循环,周期为四。  

四的乘方个位数字总是按照四六循环,周期为二。  

六的乘方个位数字总是按照六循环,周期为一。  

八的乘方个位数字总是按照八四二六循环,周期为四。

2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16;2^5=32,……  

4^1=4,4^2=16;4^3=64,……  

6^1=6;6^2=36,……  

8^1=8,8^2=64,8^3=512,8^4=4096;8^5=32768,……  

[3]河洛对照  

非常有趣的是,前面归纳的洛书中乘方个位数字规则,如果放在河图中看,正好是同类的居相同方位。  

□□七□□ 

□□二□□  

八三五四九 

□□一□□  

□□六□□  

一六,北方水,恰好周期都为一。 

二七,南方火,恰好周期都为四,在洛书中反时针。

三八,东方木,恰好周期都为四,在洛书中顺时针。  

四九,西方金,恰好周期都为二。 

对于这些数来说,有一个共同的特点,无论各自周期是多少,五次方的结果,其个位数字总回到该数本身。写成同余式,即a^5≡a(模10)。

 (三)卍字螺旋  

我们从卍字符的角度看洛书,将洛书划分为四条螺旋臂。四→三→五,二→九→五,六→七→五,八→一→五。这里的数字排列,是从边缘走向中心数字五。 

四,九,二 

三,五,七  

八,一,六  

仔细看,四→三→五,这分明是勾三股四弦五的模式。难道这洛书也能够和勾股定理连上?是的,当年江永就是这样看的。为此,他作了四幅洛书勾股图,每条螺旋一幅图。  

也许有人会问,那“二→九→五”呢?这也难不住江永,他用前面的“左旋三倍”乘法规则来解释。  

四→三→五:4^2+3^2=5^2  

二→九→五:12^2+9^2=15^2  

六→七→五:36^2+27^2=45^2  

八→一→五:108^2+81^2=135^2  

注意到卍字符是旋转的,上面的模式还可以继续下去。 

四→三→五:324^2+243^2=405^2  

二→九→五:972^2+729^2=1215^2  

六→七→五:2916^2+2187^2=3645^2  

八→一→五:8748^2+6561^2=10935^2  

勾3→9→27→81→243→729→2187→6561→……  

股4→12→36→108→324→972→2916→8748→……  

弦5→15→45→135→405→1215→3645→10935→……  

很明显,卍字符每旋转四分之一圆周,数字就都扩大三倍了,如此循环下去,直至无穷。在这个变化过程中,洛书中的数字,记录的正好是所得大数的个位数字。就这样,小小的洛书中,存储了无数的勾股弦数字组合。 

(四)黄金比例  

黄金比0.618……,这是西方人认识的奇妙数字。许多人都认为,这个数字也写在洛书里面了。因为我们分明看见洛书最下方排列的是“八一六”,如此离黄金比也就不远了。人们可以用这三个数字写出一个小数0.618,这正好是黄金比的近似值。  

四,□,二  

□,◎,□  

八,□,六 

请注意观察偶数在洛书中的排列,按照顺时针方向,从左上角开始,正好是四二六八。非常有趣的是,4+2=6,2+6=8,6+8=14,这里14的个位数字正好回到了出发点4。这里,并没有按照“左旋三倍”的乘法来看,而是不断的作加法,这正是黄金数列的生成规则!  

继续演算下去,8+14=22,14+22=36,36+58=94,58+94=152,94+152=246,152+246=398。 

就这样,我们得出了一个序列:4,2,6,8,14,22,36,58,94,152,246,398,……很明显这个序列的个位数字恰好是按照4→2→6→8的顺序循环出现。  

一般来说,x[1]=4,x[2]=2,x[n]+x[n+1]=x[n+2],由此就可以完全确定这个序列。由于这个序列与斐波那契数列的生成规则一致,都是x[n]+x[n+1]=x[n+2],因此同样会有相邻二项的比值x[n]∶x[n+1]越来越接近0.618……(黄金比)。  

我们算几个例子看一下吧。22/36=0.61111…,58/94=0.61702…,94/152=0.61842…,246/398=0.61809…。  

好几个世纪以前,一位德国人开普勒说过,几何学里有两大宝藏,一个是勾股定理,一个是黄金比例。非常有意思的是,人们按照易的象数思维,这两大宝藏竟然都和洛书连上了。也许是因为洛书的地位实在太崇高吧,人们总是想尽可能的往洛书里面多装点好东西。  

有时候,我在想,八卦就是一只葫芦,里面装着天地间无数的真宝。八卦如此,河图洛书也是如此,天干地支甲子五行还是如此。这是典型的东方人发展学术的方式,后人为前人注解的时候,这个“注”字生动的表达了又有新的东西注入其中了。这个过程,就是往葫芦里装宝的过程。 

(五)算术妙趣  

从前,有一位法国人,非常喜欢东方文化,尤其是对中国的洛书河图八卦有极大的兴趣,花了大量的时间学易。非常有趣的是,这位法国人竟然从洛书中领悟了一个有趣的数字排列。  

四,九,二  

三,五,七  

八,一,六  

他发现,在洛书中,按照“三→八→一→六→五→四→七→二→九”这样的顺序取数,可以得出一组非常奇妙的数字。依次得出的是一位数到九位数:3,38,381,3816,38165,381654,3816547,38165472,381654729。  

请看下面的除法计算。 

一位数字:三,3÷1=3; 

二位数字:三八,38÷2=19;  

三位数字:三八一,381÷3=127;  

四位数字:三八一六,3816÷4=954;  

五位数字:三八一六五,38165÷5=7633; 

六位数字:三八一六五四,381654÷6=63609;  

七位数字:三八一六五四七,3816547÷7=545221;  

八位数字:三八一六五四七二,38165472÷8=4770684;  

九位数字:三八一六五四七二九,381654729÷9=42406081。

他的发现是,在这个顺序中,取几位数,该数就是几的倍数。需要注意的是,“三→八→一”与“七→二→九”正好在洛书中处于中心对称的位置。你看,这位法国人的发现确实非常有趣呢!  

这样的一种数字研究,对于古代的中国人来说,是非常陌生的。因为这完全是西方人的传统,他们受古希腊的影响,重视几何和素数。

算数,对于古代的中国人来说,就是加减乘除乘方开方,并不关心数之间的分解与合成,也就没有素数合数这样的内容了。在二千多年前,中国人并没有素数的概念,这是当时希腊人的文化。算筹算盘这些算具的发明,意味着古代中国人擅长的是计算。 

洛书卍字与黄金数列  

从前古代的时候,大约相当于中国这里的南宋,有一位意大利人叫斐波那契,他写了一本著名的算术书,书里面记载了一个兔子繁殖的问题。由这个问题衍生出了一个有趣的数列——斐波那契数列,如今这个数列从西方到东方已是广为人知。他写下的数列异乎寻常的简单:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,……  

你看,只是在作加法呢!1+1=2,1+2=3,2+3=5,3+5=8。继续下去,5+8=13,8+13=21。总之,只要你愿意算,可以永无休止的算下去。这是一个既简单又奥妙的数列。 

我们在前面的短文里,已经谈过这个数列隐含着甲子循环的模式。这里,我们继续作点新的思考,将数列的出发点换成任意的数字。  

令F[1]=a, F[2]=b,F[n]=F[n-1]+F[n-2],这里n为从3开始的自然数。 

一般来说,有F[n]=xa+yb,这里的系数x,y可以计算出来且只与n有关。接着,我们将x,y换成各自除以10的余数,所得记作f[n]。  

则有f[1]=a, f[2]=b,f[n]≡f[n-1]+f[n-2](mod10)。  

(一) 计算结果  博客中国人

计算是枯燥的,我们直接记录结果。为了看的整齐,我们排列成五列十多行的形式。总计收录了六十二个数据。  

f[01]=1a+0b,f[02]=0a+1b,f[03]=1a+1b,f[04]=1a+2b,f[05]=2a+3b,  

f[06]=3a+5b,f[07]=5a+8b,f[08]=8a+3b,f[09]=3a+1b,f[10]=1a+4b,  

f[11]=4a+5b,f[12]=5a+9b,f[13]=9a+4b,f[14]=4a+3b,f[15]=3a+7b,  

f[16]=7a+0b,f[17]=0a+7b,f[18]=7a+7b,f[19]=7a+4b,f[20]=4a+1b,  

f[21]=1a+5b,f[22]=5a+6b,f[23]=6a+1b,f[24]=1a+7b,f[25]=7a+8b,  

f[26]=8a+5b,f[27]=5a+3b,f[28]=3a+8b,f[29]=8a+1b,f[30]=1a+9b,  

f[31]=9a+0b,f[32]=0a+9b,f[33]=9a+9b,f[34]=9a+8b,f[35]=8a+7b,  

f[36]=7a+5b,f[37]=5a+2b,f[38]=2a+7b,f[39]=7a+9b,f[40]=9a+6b,  

f[41]=6a+5b,f[42]=5a+1b,f[43]=1a+6b,f[44]=6a+7b,f[45]=7a+3b,  

f[46]=3a+0b,f[47]=0a+3b,f[48]=3a+3b,f[49]=3a+6b,f[50]=6a+9b,  

f[51]=9a+5b,f[52]=5a+4b,f[53]=4a+9b,f[54]=9a+3b,f[55]=3a+2b, 

f[56]=2a+5b,f[57]=5a+7b,f[58]=7a+2b,f[59]=2a+9b,f[60]=9a+1b,  

f[61]=1a+0b,f[62]=0a+1b,…… 

(二) 六十周期  

仔细观察前面的计算结果,我们发现和从前一样,依然不变的是甲子循环模式。为了看的整齐,我们取前面的六十个数据,从新排列成四列十五行的形式。后面将看到,这样排列是有特殊意义的。  

f[01]=1a+0b,f[16]=7a+0b,f[31]=9a+0b,f[46]=3a+0b,  

f[02]=0a+1b,f[17]=0a+7b,f[32]=0a+9b,f[47]=0a+3b,  

f[03]=1a+1b,f[18]=7a+7b,f[33]=9a+9b,f[48]=3a+3b,  

f[04]=1a+2b,f[19]=7a+4b,f[34]=9a+8b,f[49]=3a+6b,  

f[05]=2a+3b,f[20]=4a+1b,f[35]=8a+7b,f[50]=6a+9b, 

f[06]=3a+5b,f[21]=1a+5b,f[36]=7a+5b,f[51]=9a+5b,  

f[07]=5a+8b,f[22]=5a+6b,f[37]=5a+2b,f[52]=5a+4b,  

f[08]=8a+3b,f[23]=6a+1b,f[38]=2a+7b,f[53]=4a+9b,  

f[09]=3a+1b,f[24]=1a+7b,f[39]=7a+9b,f[54]=9a+3b,  

0f[10]=1a+4b,f[25]=7a+8b,f[40]=9a+6b,f[55]=3a+2b, 

f[11]=4a+5b,f[26]=8a+5b,f[41]=6a+5b,f[56]=2a+5b,  

f[12]=5a+9b,f[27]=5a+3b,f[42]=5a+1b,f[57]=5a+7b,  

f[13]=9a+4b,f[28]=3a+8b,f[43]=1a+6b,f[58]=7a+2b, 

f[14]=4a+3b,f[29]=8a+1b,f[44]=6a+7b,f[59]=2a+9b,  

f[15]=3a+7b,f[30]=1a+9b,f[45]=7a+3b,f[60]=9a+1b。 

(三)洛书模式  

四九二  

三五七  

八一六  

我们注意到,上面的数表中,有非常整齐的一组数据:  

f[03]=1a+1b,f[18]=7a+7b,f[33]=9a+9b,f[48]=3a+3b。  

这里的系数十分有规律,“一→七→九→三”正好是洛书中的数字旋转顺序。经由仔细演算,我们发现这个规律是普遍存在的,可以写成一组同余方程式。 

f[n+15] ≡ 7f[n] (mod10); 

f[n+30] ≡ 9f[n] (mod10);  

f[n+45] ≡ 3f[n] (mod10);

f[n+60] ≡ 1f[n] (mod10)。  

上图图片:洛书卍字  

(1)数字排列沿卍字螺旋向内  

f[08]=8a+3b,  

f[23]=6a+1b, 

f[38]=2a+7b,  

f[53]=4a+9b;  

(2)数字排列沿卍字螺旋向外  

f[13]=9a+4b,  

f[28]=3a+8b,  

f[43]=1a+6b,  

f[58]=7a+2b。  

这里排列的两组数据,是从前面的六十周期中仔细选择出来的。需要注意的一点是:08→23→38→53,13→28→43→58,这两个序列都是依次增加15。  

令人感到非常奇妙的是,这里出现的系数正好遵循洛书的数字排列。看了这个计算结果,我们很自然的想起了古代中国人的话:一六共宗,二七同道,三八为朋,四九为友。  

斐波那契数列是非常奇特的一个数列,西方人从中认识到了重要常数——黄金比0.618…,这个数列也因此得名黄金数列。我们从东方古老数术文化的角度,发现这个数列竟然也与八卦与甲子与五行与洛书有关。这样看的话,这个数列的更深意义更丰富内容,还有待未来时代继续发现。  

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