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黑白斋主——奇门探索录

博学之,审问之,慎思之,明辨之,笃行之。

 
 
 

日志

 
 

基本面分析和技术面分析  

2011-05-31 20:24:01|  分类: 河洛八卦 |  标签: |举报 |字号 订阅

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基本面分析入门难,出师容易。
       技术面分析入门易,出师困难。

自转周期
       [淘股吧]
         在天文学上,自转周期是一个天体沿自转轴自转一周所需的时间。 
         天体的自转周期
         水星 58.6462天 (58天 15.5088小时) 
         金星 243.0185天 (逆向旋转) 
         地球 0.997268天 (23.9344 小时 / 86,164秒) 
         月球 27.321661天 (同步) 
         火星 1.025957天 (24.622962小时) 
         木星 0.413538021天 (9小时 55分 29.685秒) 
         土星 0.4440092592天 (10小时 39分 22.40000秒) 
         天王星 0.718333333天 (17小时 14分 24.00000秒, 逆向旋转) 
         海王星 0.67125000天 (16小时 6分 36.000 00秒) 
         冥王星 6.387 d (6天 9小时 17.6分, 逆向旋转) 
         例如,昼夜平分、昼夜更替、昼夜长短三者都是地球上所固有
         的自然现象,虽然都涉及到昼夜状况,但成因却各不相同。昼夜平分是一个静止的概念,它不涉及地球的运动,而是由"地球是一个不透明的球体"这一地球特性所决定的。昼夜更替是一个动态的概念,主要是由地球自转这一运动而产生的,因光源来自太阳,所以昼夜更替的周期就是一个太阳日,即24小时。昼夜长短变化是除赤道以外,其他纬度地区随地球公转而产生的周期性变化,形成原因是地球公转过程中黄赤交角的存在。

相对论是一个时空理论,要理解狭义相对论时空理论先要了解经典时空理论的内容。
[第73楼]
 
洛仑兹变换的数学形式
       [淘股吧]
         洛仑兹提出洛仑兹变换是基于以太存在的前提的,然而以太被证实是不存在的,相对于任何惯性参照系,光速都具有相同的数值这个现象一时难以解释。爱因斯坦据此提出了狭义相对论。在狭义相对论中,空间和时间并不相互独立,而是一个统一的四维时空整体,不同惯性参照系之间的变换关系式在数学表达式上是一致的,爱因斯坦的相对论理论为洛仑兹变换结果提供了依据:
         洛伦兹公式是洛伦兹为弥补经典理论中所暴露的缺陷而建立起来的。洛伦兹是一位理论物理学家,是经典电子论的创始人。
         坐标系K1(O1,X1,Y1,Z1)以速度V相对于坐标系K(O,X,Y,Z)作匀速直线运动;三对坐标分别平行,V沿X轴正方向,并设X轴与X1轴重合,且当T1=T=0时原点O1与O重合。设P为被“观察”的某一事件,在K系中观察者“看”来。它是在T时刻发生在(X,Y,Z)处的,而在K1系中的观察者看来,它是在T1时刻发生在(X1,Y1,Z1)处的。这样的两个坐标系间的变换,我们叫洛伦兹坐标变换。
         在推导洛伦兹变换之前,作为一条公设,我们必须假设时间和空间都是均匀的,因此它们之间的变换关系必须是线性关系。如果方程式不是线性的,那么,对两个特定事件的空间间隔与时间间隔的测量结果就会与该间隔在坐标系中的位置与时间发生关系,从而破坏了时空的均匀性。例如,设X1与X的平方有关,即X1=AX^2,于是两个K1系中的距离和它们在K系中的坐标之间的关系将由X1a-X1b=A(Xa^2-Xb^2)表示。现在我们设K系中有一单位长度的棒,其端点落在Xa=2m和Xb=1m处,则X1a-X1b=3Am。这同一根棒,其端点在Xa=5m和Xb=4m处,则我们得到X1a-X1b=9Am。这样,对同一根棒的测量结果将随棒在空间的位置的不同而不同。为了不使我们的时空坐标系原点的选择与其他点相比较有某种物理上的特殊性,变换式必须是线性的。

提丢斯数列
       [淘股吧]
         提丢斯—波得定则(Titius—Bode law),简称“波得定律”,是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则。 它是在1766年德国的一位中学教师戴维·提丢斯(Johann Daniel Titius,1729~1796)发现的。后来被柏林天文台的台长波得(Johann Elert Bode)归纳成了一个经验公式来表示。
         行星同太阳平均距离的经验定律。1766年﹐德国人提丢斯提出﹐取一数列0﹐3﹐6 ﹐12﹐24﹐48﹐96﹐192……﹐然后将每个数加上4﹐再除以10﹐就可以近似地得到以天文单位表示的各个行星同太阳的平均距离。1772年﹐德国天文学家波得进一步研究了这个问题﹐发表了这个定则﹐因而得名为提丢斯—波得定则﹐有时简称提丢斯定则或波得定则。这个定则可以表述为﹕从离太阳由近到远计算﹐对应于第n 个行星(对水星而言﹐n 不是取为1﹐而是-∞)﹐其同太阳的距离a =0.4+0.3×2^(n-2)(天文单位)
         行星 公式推得值 实测值
         
         水星 0.4 0.39 
         金星 0.7 0.72
         地球 1.0 1.00
         火星 1.6 1.52
         小行星带2.8 2.9
         木星 5.2 5.20
         土星 10.0 9.54
         天王星 19.6 19.18
         海王星 38.8 30.06
         冥王星 77.2 39.44
         注:冥王星于2006年被降级为矮行星,九大行星修订为八大行星,冥王星仍属太阳系。

月是指月球对于一颗恒星来说的自转周期。如果月球上某一点,本来面向着太阳,在经过一段时间后,这一点又回到了原先的位置上,这一周期就称为恒星月。
       [淘股吧]
         一个恒星月比一个朔望月要少。一个朔望月平均有29.530589天,而一个恒星月就有27.322天,或27天7小时43分11.51秒。
         在天文学中,有三种主要的旋转周期:天(太阳—地球)、恒星月(月球—地球—恒星)、年(太阳—地球—恒星)
       [编辑本段]时间
         太阳年=365.242199天
         太阴年=354.367天
         太阴周期=29.53059天
         交蚀年=346.62天
         太阴率=12.36826623/年
         沙罗交蚀周期=18.03年=233个太阴月=6585.322天
         太阴交点周期(交点年)=18.618年=6800.0天
         默冬周期=19年=235个太阴月=6939.602天
         恒星月=27.322天
         太阳黑子周期=11.2年
         恒星日=23小时56分4秒
         回归日(即钟时)=24小时
         太阴日(平均)=24小时52分4.31秒
         进动周期=约25820年
         潮汐间隔(平均)=12小时26分2.15秒

月球基本数据
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         平均轨道半径 384,401千米
         轨道偏心率 0.055
         近地点距离 363,300千米
         远地点距离 405,500千米
         平均公转周期 27.32天
         平均公转速度 1.023千米/秒
         轨道倾角 在28.58°与18.28°之间变化
         升交点赤经 125.08°
         近地点辐角 318.15°
         默冬章 19 年
         平均月地距离 384,400 千米
         交点退行周期 18.61 年
         近地点运动周期 8.85 年
         食年 346.6 天
         沙罗周期 18 年 10/11 天
         轨道与黄道的平均倾角 5°
         月球赤道与黄道的平均倾角 1°
         赤道直径 3,476.2 千米
         两极直径 3,472.0 千米
         扁率 0.0012
         表面面积 3.976×10^7平方千米
         体积 2.199×10^10 立方千米
         质量 7.349×10^22 千克
         平均密度 水的3.350倍
         赤道重力加速度 1.62 m/s2 (地球的1/6)
         逃逸速度 2.38千米/秒
         自转周期 27天7小时43分11.559秒(同步自转)
         自转速度 16.655 米/秒(于赤道)
         自转轴倾角 在3.60°与6.69°之间变化 与黄道的交角为1.5424°
         反照率 0.12
         满月时视星等 -12.74
         表面温度(t) -233~123℃ 平均23℃
         大气压 1.3×10-10 千帕
         月球周期:
         名称 数值(单位:天) 定义
         恒星月 27.321 661 相对于背景恒星
         朔望月 29.530 588 相对于太阳(月相)
         分点月 27.321 582 相对于春分点
         近点月 27.554 550 相对于近地点
         交点月 27.212 220 相对于升交点 
         月球的直径是地球平均直径的1/4,质量只是地球的1/81.

自转不重要,公转才重要;小公转不重要,大公转才重要。
[第78楼]
 
3的1次方个位数字为3
       3的2次方个位数字为9
       3的3………………为7
       3的4………………为1
       3的5………………为3
       3的6………………为9
       从他们的个位数字来看,可以看出每隔4组为一循环
       2005/4=501……1因此3的2005次方的个位数字为3

 

中国数学史
       [淘股吧]
       
         数学是中国古代科学中一门重要的学科,根据中国古代数学发展的特点,可以分为五个时期:萌芽;体系的形成;发展;繁荣和中西方数学的融合。   一、中国古代数学的萌芽原始公社末期,私有制和货物交换产生以后,数与形的概念有了进一步的发展,仰韶文化时期出土的陶器,上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期,已开始用文字符号取代结绳记事了。   西安半坡出土的陶器有用1~8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案,半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方,确定平直,人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载,夏禹治水时已使用了这些工具。   商代中期,在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法,其中最大的数字为三万;与此同时,殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期;在周代,又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦,表示64种事物。   公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法,并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法,他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练,作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。   春秋战国之际,筹算已得到普遍的应用,筹算记数法已使用十进位值制,这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用,在数学上亦有相应的提高。   战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展,尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同,他们提出“矩不方,规不可以为圆”,把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”,“小一”(无穷小)定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰,日取其半,万世不竭”等命题。   而墨家则认为名来源于物,名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等。   墨家不同意“一尺之棰”的命题,提出一个“非半”的命题来进行反驳:将一线段按一半一半地无限分割下去,就必将出现一个不能再分割的“非半”,这个“非半”就是点。   名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列,墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论,对中国古代数学理论的发展是很有意义的。   二、中国古代数学体系的形成   秦汉是封建社会的上升时期,经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期,它的主要标志是算术已成为一个专门的学科,以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现。   《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结,就其数学成就来说,堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等,水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说,它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。   《九章算术》有几个显著的特点:采用按类分章的数学问题集的形式;算式都是从筹算记数法发展起来的;以算术、代数为主,很少涉及图形性质;重视应用,缺乏理论阐述等。   秦汉时期强调数学的应用性。成书于东汉初年的《九章算术》,排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论,偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法。   《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本,并成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯,并通过印度、阿拉伯传到欧洲,促进了世界数学的发展。   三、中国古代数学的发展   魏、晋时期出现的玄学,不为汉儒经学束缚,思想比较活跃;它诘辩求胜,又能运用逻辑思维,分析义理,这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》,汉末魏初徐岳撰《九章算术》注,魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都是出现在这个时期。赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。   赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式;在“日高图及注”中,他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式,赵爽的工作是带有开创性的,在中国古代数学发展中占有重要地位。   刘徽约与赵爽同时,他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想,主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义,认为对数学知识必须进行“析理”,才能使数学著作简明严密,利于读者。他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导,而且在论述的过程中有很大的发展。刘徽创造割圆术,利用极限的思想证明圆的面积公式,并首次用理论的方法算得圆周率为 157/50和 3927/1250。   刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为2:1,解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时,刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径。   东晋以后,中国长期处于战争和南北分裂的状态。祖冲之父子的工作就是经济文化南移以后,南方数学发展的具有代表性的工作,他们在刘徽注《九章算术》的基础上,把传统数学大大向前推进了一步。他们的数学工作主要有:计算出圆周率在3.1415926~3.1415927之间;提出祖暅原理;提出二次与三次方程的解法等。   据推测,祖冲之在刘徽割圆术的基础上,算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积,从而得到了这个结果。他又用新的方法得到圆周率两个分数值,即约率22/7和密率355/113。祖冲之这一工作,使中国在圆周率计算方面,比西方领先约一千年之久;   祖冲之之子祖暅总结了刘徽的有关工作,提出“幂势既同则积不容异”,即等高的两立体,若其任意高处的水平截面积相等,则这两立体体积相等,这就是著名的祖暅公理。祖暅应用这个公理,解决了刘徽尚未解决的球体积公式。   隋炀帝大兴土木,客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的《缉古算经》,主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题,反映了这个时期数学的情况。王孝通在不用数学符号的情况下,立出数字三次方程,不仅解决了当时社会的需要,也为后来天元术的建立打下基础。此外,对传统的勾股形解法,王孝通也是用数字三次方程解决的。   唐初统治者继承隋制,656年在国子监设立算学馆,设有算学博士和助教,学生30人。由太史令李淳风等编纂注释《算经十书》,作为算学馆学生用的课本,明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的《算经十书》,对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的。他们给《周髀算经》、《九章算术》以及《海岛算经》所作的注解,对读者是有帮助的。隋唐时期,由于历法的需要,天算学家创立了二次函数的内插法,丰富了中国古代数学的内容。   算筹是中国古代的主要计算工具,它具有简单、形象、具体等优点,但也存在布筹占用面积大,运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点,因此很早就开始进行改革。其中太乙算、两仪算、三才算和珠算都是用珠的槽算盘,在技术上是重要的改革。尤其是“珠算”,它继承了筹算五升十进与位值制的优点,又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点,优越性十分明显。但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行。算珠还没有穿档,携带不方便,因此仍没有普遍应用。   唐中期以后,商业繁荣,数字计算增多,迫切要求改革计算方法,从《新唐书》等文献留下来的算书书目,可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法,唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算,它既适用于筹算,也适用于珠算。   四、中国古代数学的繁荣   960年,北宋的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣,科学技术突飞猛进,火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用。1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》,1213年鲍擀之又进行翻刻。这些都为数学发展创造了良好的条件。   从11~14世纪约300年期间,出现了一批著名的数学家和数学著作,如贾宪的《黄帝九章算法细草》,刘益的《议古根源》,秦九韶的《数书九章》,李冶的《测圆海镜》和《益古演段》,杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》,朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》等,很多领域都达到古代数学的高峰,其中一些成就也是当时世界数学的高峰。   从开平方、开立方到四次以上的开方,在认识上是一个飞跃,实现这个飞跃的就是贾宪。杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪“增乘开平方法”、“增乘开立方法”;在《详解九章算法》中载有贾宪的“开方作法本源”图、“增乘方法求廉草”和用增乘开方法开四次方的例子。根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表,创造了增乘开方法。这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响,其中贾宪三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。   把增乘开方法推广到数字高次方程(包括系数为负的情形)解法的是刘益。《杨辉算法》中“田亩比类乘除捷法”卷,介绍了原书中22个二次方程和 1个四次方程,后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。   秦九韶是高次方程解法的集大成者,他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程(最高次数为10)的问题。为了适应增乘开方法的计算程序,奏九韶把常数项规定为负数,把高次方程解法分成各种类型。当方程的根为非整数时,秦九韶采取继续求根的小数,或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母,常数为分子来表示根的非整数部分,这是《九章算术》和刘徽注处理无理数方法的发展。在求根的第二位数时,秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第二位数的试除法,这比西方最早的霍纳方法早500多年。   元代天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》中解决了三次函数的内插值问题。秦九韶在“缀术推星”题、朱世杰在《四元玉鉴》“如象招数”题都提到内插法(他们称为招差术),朱世杰得到一个四次函数的内插公式。   用天元(相当于x)作为未知数符号,立出高次方程,古代称为天元术,这是中国数学史上首次引入符号,并用符号运算来解决建立高次方程的问题。现存最早的天元术著作是李冶的《测圆海镜》。   从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组,是宋元数学家的又一项杰出的创造。留传至今,并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的《四元玉鉴》。   朱世杰的四元高次联立方程组表示法是在天元术的基础上发展起来的,他把常数放在中央,四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上,其他各项放在四个象限中。朱世杰的最大贡献是提出四元消元法,其方法是先择一元为未知数,其他元组成的多项式作为这未知数的系数,列成若干个一元高次方程式,然后应用互乘相消法逐步消去这一未知数。重复这一步骤便可消去其他未知数,最后用增乘开方法求解。这是线性方法组解法的重大发展,比西方同类方法早400多年。   勾股形解法在宋元时期有新的发展,朱世杰在《算学启蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法,补充了《九章算术》的不足。李冶在《测圆海镜》对勾股容圆问题进行了详细的研究,得到九个容圆公式,大大丰富了中国古代几何学的内容。   已知黄道与赤道的夹角和太阳从冬至点向春分点运行的黄经余弧,求赤经余弧和赤纬度数,是一个解球面直角三角形的问题,传统历法都是用内插法进行计算。元代王恂、郭守敬等则用传统的勾股形解法、沈括用会圆术和天元术解决了这个问题。不过他们得到的是一个近似公式,结果不够精确。但他们的整个推算步骤是正确无误的,从数学意义上讲,这个方法开辟了通往球面三角法的途径。   中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期。宋元明的历史文献中载有大量这个时期的实用算术书目,其数量远比唐代为多,改革的主要内容仍是乘除法。与算法改革的同时,穿珠算盘在北宋可能已出现。但如果把现代珠算看成是既有穿珠算盘,又有一套完善的算法和口诀,那么应该说它最后完成于元代。   宋元数学家都在不同程度上反对理学家的象数神秘主义。秦九韶虽曾主张数学与道学同出一源,但他后来认识到,“通神明”的数学是不存在的,只有“经世务类万物”的数学;莫若在《四元玉鉴》序文中提出的“用假象真,以虚问实”则代表了高度抽象思维的思想方法;杨辉对纵横图结构进行研究,揭示出洛书的本质,有力地批判了象数神秘主义。所有这些,无疑是促进数学发展的重要因素。   中西方数学的融合   中国从明代开始进入了封建社会的晚期,16世纪末以后,西方初等数学陆续传入中国,使中国数学研究出现一个中西融合贯通的局面;鸦片战争以后,近代数学开始传入中国,中国数学便转入一个以学习西方数学为主的时期;到19世纪末20世纪初,近代数学研究才真正开始。   从明初到明中叶,商品经济有所发展,和这种商业发展相适应的是珠算的普及。明初《魁本对相四言杂字》和《鲁班木经》的出现,说明珠算已十分流行。前者是儿童看图识字的课本,后者把算盘作为家庭必需用品列入一般的木器家具手册中。   随着珠算的普及,珠算算法和口诀也逐渐趋于完善。例如王文素和程大位增加并改善撞归、起一口诀;徐心鲁和程大位增添加、减口诀并在除法中广泛应用归除,从而实现了珠算四则运算的全部口诀化;朱载墒和程大位把筹算开平方和开立方的方法应用到珠算,程大位用珠算解数字二次、三次方程等等。程大位的著作在国内外流传很广,影响很大。   1582年,意大利传教士利玛窦到中国,1607年以后,他先后与徐光启翻译了《几何原本》前六卷、《测量法义》一卷,与李之藻编译《圜容较义》和《同文算指》。1629年,徐光启被礼部任命督修历法,在他主持下,编译《崇祯历书》137卷。《崇祯历书》主要是介绍欧洲天文学家第谷的地心学说。作为这一学说的数学基础,希腊的几何学,欧洲玉山若干的三角学,以及纳皮尔算筹、伽利略比例规等计算工具也同时介绍进来。   在传入的数学中,影响最大的是《几何原本》。《几何原本》是中国第一部数学翻译著作,绝大部分数学名词都是首创,其中许多至今仍在沿用。徐光启认为对它“不必疑”、“不必改”,“举世无一人不当学”。满清侵入中原之后,科学再度被打入了“冷宫”。不但书的后半部分迟迟不能翻译,就连徐光启已经译出的上半部分也不再发行。西方传教士带来的科技著作,成为康熙、雍正或乾隆皇帝独享的业余爱好。   其次应用最广的是三角学,介绍西方三角学的著作有《大测》《割圆八线表》和《测量全义》。《大测》主要说明三角八线(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢)的性质,造表方法和用表方法。《测量全义》除增加一些《大测》所缺的平面三角外,比较重要的是积化和差公式和球面三角。所有这些,在当时历法工作中都是随译随用的。   1646年,波兰传教士穆尼阁来华,跟随他学习西方科学的有薛凤柞、方中通等。穆尼阁去世后,薛凤柞据其所学,编成《历学会通》,想把中法西法融会贯通起来。《历学会通》中的数学内容主要有比例对数表》《比例四线新表》和《三角算法》。前两书是介绍英国数学家纳皮尔和布里格斯发明增修的对数。后一书除《崇祯历书》介绍的球面三角外,尚有半角公式、半弧公式、德氏比例式、纳氏比例式等。方中通所著《数度衍》对对数理论进行解释。对数的传入是十分重要,它在历法计算中立即就得到应用。   清初学者研究中西数学有心得而著书传世的很多,影响较大的有王锡阐《图解》、梅文鼎《梅氏丛书辑要》(其中数学著作13种共40卷)、年希尧《视学》等。梅文鼎是集中西数学之大成者。他对传统数学中的线性方程组解法、勾股形解法和高次幂求正根方法等方面进行整理和研究,年希尧的《视学》是中国第一部介绍西方透视学的著作。   清康熙重视西方科学,但只是作为自己的爱好。1712年康熙命梅彀成任蒙养斋汇编官,会同陈厚耀、何国宗、明安图、杨道声等编纂天文算法书。1721年完成《律历渊源》100卷,以康熙“御定”的名义于1723年出版。其中《数理精蕴》主要由梅彀成负责,分上下两编,上编包括《几何原本》、《算法原本》,均译自法文著作;下编包括算术、代数、平面几何平面三角、立体几何等初等数学,附有素数表、对数表和三角函数表。由于它是一部比较全面的初等数学百科全书,并有康熙“御定”的名义,因此对当时数学研究有一定影响。   清代数学家对西方数学做了大量的会通工作,并取得许多独创性的成果。这些成果,如和传统数学比较,是有进步的,但和同时代的西方比较则明显落后了。   雍正即位以后,对外闭关自守,导致西方科学停止输入中国,对内实行高压政策,致使一般学者既不能接触西方数学,又不敢过问经世致用之学,因而埋头于究治古籍。乾嘉年间逐渐形成一个以考据学为主的乾嘉学派。   随着《算经十书》与宋元数学著作的收集与注释,出现了一个研究传统数学的高潮。其中能突破旧有框框并有发明创造的有焦循、汪莱、李锐、李善兰等。他们的工作,和宋元时代的代数学比较是有进步的;和西方代数学比较,在时间上晚了一些,但这些成果是在没有受到西方近代数学的影响下独立得到的。   与传统数学研究出现高潮的同时,阮元与李锐等编写了一部天文数学家传记—《畴人传》,收集了从黄帝时期到嘉庆四年已故的天文学家和数学家270余人(其中有数学著作传世的不足50人),和明末以来介绍西方天文数学的传教士41人。这部著作全由“掇拾史书,荃萃群籍,甄而录之”而成,收集的完全是第一手的原始资料,在学术界颇有影响。   1840年鸦片战争以后,西方近代数学开始传入中国。首先是英人在上海设立墨海书馆,介绍西方数学。第二次鸦片战争后,曾国藩、李鸿章等官僚集团开展“洋务运动”,也主张介绍和学习西方数学,组织翻译了一批近代数学著作。   其中较重要的有李善兰与伟烈亚力翻译的《代数学》《代微积拾级》;华蘅芳与英人傅兰雅合译的《代数术》《微积溯源》《决疑数学》;邹立文与狄考文编译的《形学备旨》《代数备旨》《笔算数学》;谢洪赉与潘慎文合译的《代形合参》《八线备旨》等等。   《代微积拾级》是中国第一部微积分学译本;《代数学》是英国数学家德·摩根所著的符号代数学译本;《决疑数学》是第一部概率论译本。在这些译著中,创造了许多数学名词和术语,至今还在应用,但所用数学符号一般已被淘汰了。戊戌变法以后,各地兴办新法学校,上述一些著作便成为主要教科书。   在翻译西方数学著作的同时,中国学者也进行一些研究,写出一些著作,较重要的有李善兰的《尖锥变法解》《考数根法》;夏弯翔的《洞方术图解》《致曲术》《致曲图解》等等,都是会通中西学术思想的研究成果。   由于输入的近代数学需要一个消化吸收的过程,加上清末统治者十分腐败,在太平天国运动的冲击下,在列强的掠夺下,焦头烂额,无暇顾及数学研究。直到1919年五四运动以后,中国近代数学的研究才真正开始。
[第100楼]

 天球上假象的一个垂直于地球的自转轴的大圈,与地球赤道位于同一平面;也可以说是垂直于地球地轴把天球平分成南北两半的大圆,理论上有无限长的半径。相对于黄道面,天赤道倾斜23°26',该角被称为黄赤交角,是地轴倾斜的结果。当太阳在天赤道上时,白昼和黑夜到处都相等,因此天赤道也被称为昼夜中分线(equinocti al line)或昼夜平分圆;那时北半球和南半球都处于春分或者秋分。在一年当中,太阳有两次机会处于天赤道上。只要我们把地球赤道不断向外扩大,一直延伸到无限大,这个无限的圆就是天赤道。
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       黄道与赤道就是地球公转与自转的平面。

基本面分析和技术面分析 - zhangguojun1181 - 黑白斋主——奇门探索录

杨辉三角中的一阶数列,二阶数列...斐波那契数列等的联系,以及其它的性质
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       简单的说一下就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题,比如(x+y)的平方=x的平方+2xy+y的平方,这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行,立方,四次方,运算的结果看看各项的系数,你就明白其中的道理了 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 这就是杨辉三角,也叫贾宪三角 他于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。如图,在贾宪三角中,第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式(在此就不做说明了)依次下去 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表,一般形式如下: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ...杨辉三角最本质的特征是,它的两条斜边都是由数字1组成的,而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。 其实,中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章,而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。 杨辉,字谦光,北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了如上所示的三角形数表,称之为“开方作法本源”图。 而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到,最简单的就是叫你找规律。具体的用 杨辉三角的简史:北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算,南宋数学家杨辉在《详解九章算法》(1961年)记载并保存了“贾宪三角”,故称杨辉三角。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303年)扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。 时间上:杨辉(一二六一)朱世杰(一三○三)也明显就可以知道是杨辉发现的 朱世杰只是扩充了其中的内容 同时 这也是多项式(a+b)^n 打开括号后的各个项的二次项系数的规律 即为 0 (a+b)^0 (0 nCr 0) 1 (a+b)^1 (1 nCr 0) (1 nCr 1) 2 (a+b)^2 (2 nCr 0) (2 nCr 1) (2 nCr 2) 3 (a+b)^3 (3 nCr 0) (3 nCr 1) (3 nCr 2) (3 nCr 3) . ... 因此 杨辉三角第x层第y项直接就是 (y nCr x) 我们也不难得到 第x层的所有项的总和 为 2^(x-1) (即(a+b)^x中a,b都为1的时候) [ 上述y^x 指 y的 x次方;(a nCr b) 指 组合数] 其实,中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章,而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。 杨辉,字谦光,北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了如上所示的三角形数表,称之为“开方作法本源”图。 而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到,最简单的就是叫你找规律。具体的用法我们会在教学内容中讲授。 在国外,这也叫做"帕斯卡三角形". S1:这些数排列的形状像等腰三角形,两腰上的数都是1 S2:从右往左斜着看,第一列是1,1,1,1,1,1,1;第二列是,1,2,3,4,5,6;第三列是1,3,6,10,15;第四列是1,4,10,20;第五列是1,5,15;第六列是1,6……。 从左往右斜着看,第一列是1,1,1,1,1,1,1;第二列是1,2,3,4,5,6……和前面的看法一样。我发现这个数列是左右对称的。 S3:上面两个数之和就是下面的一行的数。 S4:这行数是第几行,就是第二个数加一。…… 幻方,在我国也称纵横图,它的神奇特点吸引了无数人对它的痴迷。从我国古代的“河出图,洛出书,圣人则之”的传说起,系统研究幻方的第一人,当数我国古代数学家——杨辉。 杨辉,字谦光,钱塘(今杭州)人,我国南宋时期杰出的数学家,与秦九韶、李冶、朱世杰并称宋元四大数学家,他在我国古代数学史和数学教育史上占有十分重要的地位。 杨辉对幻方的研究源于一个小故事。当时杨辉是台州的地方官,一次外出巡游,碰到一孩童挡道,杨辉问明原因方知是一孩童在地I 做一道数学算题,杨辉一听来了兴趣,下轿来到孩童旁问是什么算题。原来,这个孩童在算一位老先生出的一道趣题:把1到9的数字分行排列,不论竖着加、横着加,还是斜着加,结果都等于15。 杨辉看到这个算题, 时想起来他在西汉学者戴德编纂的《大戴礼》一书中也 见过。杨辉想到这儿,和孩童一起算了起来,直到午后,两人终于将算式摆出来了。 后来,杨辉随孩童来到老先生家里,与老先生谈论起数学问题来。老先生说:“北周的甄弯注《数术记遗》一书中写过‘九宫者,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央。”’杨辉听了,这与自己与孩童摆出来的完全一样。便问老先生:“你可知这个九宫图是如何造出来的?”老先生说不知 道。 杨辉回到家中,反复琢磨。一天,他终于发现一条规律,并总结成四句话:“九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出”。就是说:先把l~9九个数依次斜排,再把上l下9两数对调,左7右3两数对调,最后把四面的2、4、6、8向外面挺出,这样三阶幻方就填好了。 杨辉研究出三阶幻方(也叫络书或九宫图)的构造方法后,又系统的研究了四阶幻方至十阶幻方。在这几种幻方中,杨辉只给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明,四阶以上幻方,杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误,可见他已经掌握了高阶幻方的构成规律。 在信息领域杨辉三角也起着重要作用。

韦达定律介绍
         英文名称:Viete theorem   韦达定理说明一元二次方程2根之间的关系.   一元二次方程ax^2+bx+c=0中,两根x1,x2有如下关系:x1+x2=-b/a , x1*x2=c/a

韦达定理说明一元二次方程2根之间的关系:
        
       一元二次方程ax^2+bx+c=0中,两根x1,x2有如下关系:x1+x2=-b/a , x1*x2=c/a

 达从事数学研究只是出于爱好,然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。他的《应用于三角形的数学定律》(1579年)是韦达最早的数学专著之一,可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。他被称为现代代数符号之父。韦达还专门写了一篇论文"截角术",初步讨论了正弦,余弦,正切弦的一般公式,首次把代数变换应用到三角学中。他考虑含有倍角的方程,具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。   他的《解析方法入门》一书(1591年),集中了他以前在代数方面的大成,使代数学真正成为数学中的一个优秀分支。他对方程论的贡献是在《论方程的整理和修正》一书中提出了二次、三次和四次方程的解法。

1593年韦达在《分析五篇》中曾说明怎样用直尺和圆规作出导致某些二次方程的几何问题的解。同年他的《几何补篇》(Supplementum geometriae)在图尔出版了,其中给尺规作图问题所涉及的一些代数方程知识。此外,韦达最早明确给出有关圆周率π值的无穷运算式,而且创造了一套 10进分数表示法,促进了记数法的改革。之后,韦达用代数方法解决几何问题的思想由笛卡儿继承,发展成为解析几何学。韦达从某个方面讲,又是几何学方面的权威,他通过393416个边的多边形计算出圆周率,精确到小数点后9位,在相当长的时间里处于世界领先地位。

韦达定理(Vieta's Theorem)的内容
         一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中
          设两个根为X1和X2
          则X1+X2= -b/a 
         X1*X2=c/a 
         用韦达定理判断方程的根
          若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根
          若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根 
         若b^2-4ac<0 则方程没有实数解
[第108楼]
  
   韦达定理的推广
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         韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。
           一般的,对一个一元n次方程∑AiX^i=0 
          它的根记作X1,X2…,Xn 
         我们有 
         ∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) 
         ∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n) 
         …   ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n) 
         其中∑是求和,Π是求积。
          如果一元二次方程 
         在复数集中的根是,那么 
         由代数基本定理可推得:任何一元 n 次方程
          在复数集中必有根。因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积:
          其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
          法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
          韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

 韦达定理的证明
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         一元二次方程求根公式为:   x=(-b±√b^2-4ac)/2a   则x1=(-b+√b^2-4ac)/2a,x2=(-b-√b^2-4ac)/2a   x1+x2=(-b+√b^2-4ac/2a)+(-b-√b^2-4ac/2a)   x1+x2=-b/a   x1*x2=(-b+√b^2-4ac/2a)*(-b-√b^2-4ac/2a)   x1*x2=c/a   韦达定理   判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理。   〖大纲要求〗   1.掌握一元二次方程根的判别式,会判断常数系数一元二次方程根的情况;对含有字母系数的由一元二次方程,会根据字母的取值范围判断根的情况,也会根据根的情况确定字母的取值范围。   2.掌握韦达定理及其简单的应用。   【考3.】会在实数范围内把二次三项式分解因式。   4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。   内容分析 。   1.一元二次方程的根的判别式 。   一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b^2-4ac   当△>0时,方程有两个不相等的实数根;   当△=0时,方程有两个相等的实数根,   当△<0时,方程没有实数根.

  2.一元二次方程的根与系数的关系 。
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          (1)如果一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么 ,
          (2)如果方程x^2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-P,
          x1x2=q   (3)以x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 
         x2-(x1+x2)x+x1x2=0.   3.二次三项式的因式分解(公式法) 
         在分解二次三项式ax^2+bx+c的因式时,如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是X1,x2,那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).
          另外这与射影定理是初中必须射影定理图掌握的.

  韦达定理推广的证明
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         设x1,x2,……,xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。
          则有:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0 
         所以:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i
        (在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理)
          通过系数对比可得:
          A(n-1)=-An(∑xi) 
         A(n-2)=An(∑xixj) 
         …   A0==(-1)^n*An*ΠXi 
         所以:∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) 
         ∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)   … 
         ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)  
        其中∑是求和,Π是求积。


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   中国南宋伟大的数学家秦九韶在他1247年编写的世界数学名著《数书九章》一书中提出了数字一元三次方程与任何高次方程的解法“正负开方术”,提出“商常为正,实常为负,从常为正,益常为负”的原则,纯用代数加法,给出统一的运算规律,并且扩充到任何高次方程中去。这个方法比几百年以后欧洲数学家所提出的计算方法要高明许多。现在,这种方法被后人称为“秦九韶程序”。世界各国从小学、中学到大学的数学课程,几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。

   一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
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          一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到,即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型,即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式,下一步的工作就是求出开立方里面的内容,也就是用p和q表示A和B。方法如下:   (1)将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到
          (2)x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) 
         (3)由于x=A^(1/3)+B^(1/3),所以(2)可化为 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,移项可得
          (4)x^3-3(AB)^(1/3)x-(A+B)=0,和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较,可知 
         (5)-3(AB)^(1/3)=p,-(A+B)=q,化简得 
         (6)A+B=-q,AB=-(p/3) ^3 
         (7)这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题,因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根,而(6)则是关于形如ay+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理,即 
         (8)y1+y2=-(b/a),y1*y2=c/a   (9)对比(6)和(8),可令A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)=c/a 
         (10)由于型为ay+by+c=0的一元二次方程求根公式为   y1=(-b+(b-4ac)^(1/2))/(2a)   y2=(-b-(b-4ac)^(1/2))/(2a)   可化为 
         (11)y1=-(b/2a)-((b/2a)-(c/a))^(1/2)   y2=-(b/2a)+((b/2a)-(c/a))^(1/2)   将(9)中的A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)=c/a代入(11)可得 
         (12)A=-(q/2)-((q/2)+(p/3)^(1/2)   B=-(q/2)+((q/2)+(p/3))^(1/2) 
         (13)将A,B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
          (14)x=(-(q/2)-((q/2)+(p/3))^(1/2))^(1/3)+(-(q/2)+((q/2)+(p/3))^(1/2))^(1/3) 
         式 (14)只是一元三方程的一个实根解,按韦达定理一元三次方程应该有三个根,不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根,另两个根就容易求出了   将其以下图具体显示(点击) 
         注意此处的三次方程是实数域的。
          但是,如果出现了复数的形式,由于三根不分主次,将会有9个结果,其中6个是错误的。公式可如下改良:
          令k=(-q/2+√((q/2)+(p/3)))^(1/3),则 
         y1=(3k-p)/(3k) 
         y2=(3k^2w-p)/(3kw) 
         y3=(3k^2w^2-p)/(3kw)

 除了上文中的卡尔丹公式解法,三次方程还有其它解法,列举如下:
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       1.因式分解法
         因式分解法不是对所有的三次方程都适用,只对一些三次方程适用.对于大多数的三次方程,只有先求出它的根,才能作因式分解.当然,因式分解的解法很简便,直接把三次方程降次.例如:解方程x^3-x=0   对左边作因式分解,得x(x+1)(x-1)=0,得方程的三个根:x1=0,x2=1,x3=-1.
       2.另一种换元法
         对于一般形式的三次方程,先用上文中提到的配方和换元,将方程化为x+px+q=0的特殊型.令x=z-p/3z,代入并化简,得:z-p/27z+q=0.再令z=w,代入,得:w+p/27w+q=0.这实际上是关于w的二次方程.解出w,再顺次解出z,x.
       3.盛金公式
         三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程,虽然有著名的卡尔丹公式,并有相应的判别法,但使用卡尔丹公式解题比较复杂,缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式,并建立了新判别法.   盛金公式   Shengjin’s Formulas   一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0,(a,b,c,d∈R,且a≠0)。   重根判别式:   A=b^2-3ac;   B=bc-9ad;   C=c^2-3bd,   总判别式:   Δ=B^2-4AC。   当A=B=0时,盛金公式①:   X1=X2=X3=-b/(3a)=-c/b=-3d/c。   当Δ=B^2-4AC>0时,盛金公式②:   X1=(-b-(Y1)^(1/3)-(Y2)^(1/3))/(3a);   X2,3=(-2b+(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)-(Y2)^(1/3))/(6a),   其中Y1,2=Ab+3a(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2,i^2=-1。   当Δ=B^2-4AC=0时,盛金公式③:   X1=-b/a+K;   X2=X3=-K/2,    其中K=B/A,(A≠0)。   当Δ=B^2-4AC<0时,盛金公式④:   X1=(-b-2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a);   X2,3=(-b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a),   其中θ=arccosT,T=(2Ab-3aB)/(2A^(3/2)),(A>0,-1<T<1)。   盛金判别法   Shengjin’s Distinguishing Means   ①:当A=B=0时,方程有一个三重实根;   ②:当Δ=B^2-4AC>0时,方程有一个实根和一对共轭虚根;   ③:当Δ=B^2-4AC=0时,方程有三个实根,其中有一个两重根;   ④:当Δ=B^2-4AC<0时,方程有三个不相等的实根。   盛金定理   Shengjin’s Theorems   当b=0,c=0时,盛金公式①无意义;当A=0时,盛金公式③无意义;当A≤0时,盛金公式④无意义;当T<-1或T>1时,盛金公式④无意义。   当b=0,c=0时,盛金公式①是否成立?盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值?盛金公式④是否存在T<-1或T>1的值?盛金定理给出如下回答:   盛金定理1:当A=B=0时,若b=0,则必定有c=d=0(此时,方程有一个三重实根0,盛金公式①仍成立)。   盛金定理2:当A=B=0时,若b≠0,则必定有c≠0(此时,适用盛金公式①解题)。   盛金定理3:当A=B=0时,则必定有C=0(此时,适用盛金公式①解题)。   盛金定理4:当A=0时,若B≠0,则必定有Δ>0(此时,适用盛金公式②解题)。   盛金定理5:当A<0时,则必定有Δ>0(此时,适用盛金公式②解题)。   盛金定理6:当Δ=0时,若B=0,则必定有A=0(此时,适用盛金公式①解题)。   盛金定理7:当Δ=0时,若B≠0,盛金公式③一定不存在A≤0的值(此时,适用盛金公式③解题)。   盛金定理8:当Δ<0时,盛金公式④一定不存在A≤0的值。(此时,适用盛金公式④解题)。   盛金定理9:当Δ<0时,盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值,即T出现的值必定是-1<T<1。   显然,当A≤0时,都有相应的盛金公式解题。   注意:盛金定理逆之不一定成立。如:当Δ>0时,不一定有A<0。   盛金定理表明:盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。   当Δ=0(d≠0)时,使用卡尔丹公式解题仍存在开立方(WhenΔ=0,Shengjin’s formula is not with radical sign, and efficiency higher for solving an equation)。与卡尔丹公式相比较,盛金公式的表达形式较简明,使用盛金公式解题较直观、效率较高;盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2-3ac;B=bc-9ad;C=c^2-3bd是最简明的式子,由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2-4AC也是最简明的式子(是非常美妙的式子),其形状与一元二次方程的根的判别式相同;盛金公式②中的式子(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式,这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。   以上盛金公式的结论,发表在《海南师范学院学报(自然科学版)》(第2卷,第2期;1989年12月,中国海南。国内统一刊号:CN46-1014),第91—98页。范盛金,一元三次方程的新求根公式与新判别法

 卡尔达诺(Girolamo Cardano, 1501-1576),一位或许是数学史中最奇特的人物。他的本行是医生,并且是一个颇受欢迎的医生。但其才能并没有局限于此,他在各种知识领域里显示出自己的天赋。除了是一个极好的医生外,他还是哲学家和数学家,同时是一个占星术家,并在这些知识领域里都获得了重要成果。他行为有些怪异,性好赌博,人品看来也不太佳。在他去世后一百年,伟大的莱布尼兹概括了他的一生:“卡尔达诺是一个有许多缺点的伟人;没有这些缺点,他将举世无双。”
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       在我们故事中卡尔达诺所要扮演的正是一个将才能与不佳的人品集于一身的不太光彩角色。
       在塔塔利亚与菲尔奥的竞赛后不久,卡尔达诺听说了这一故事。在此之前他对三次方程求解问题已进行过长时间的研究,却没有得到结果。于是可以想象得到他是多么急于想知道塔塔利亚这位解三次方程大师的奇妙技巧。为此他多次向塔塔利亚求教三次方程的解法,开始都被塔塔利亚拒绝了。但最终在卡尔达诺立下永不泄密的誓言后,他于1539年3月25日向卡尔达诺公开了自己的秘密。故事的转折就这样开始了。
       卡尔达诺并没有遵守自己的诺言,1545年他出版《大术》一书,将三次方程解法公诸于众,从而使自己在数学界名声鹊起。当然,如果说句公道话的话,卡尔达诺的《大术》一书并非完全抄袭之作,其中也包含着他自己独特的创造。然而,这种失信毕竟大大激怒了塔塔利亚。1546年他在《各式各样的问题与发明》一书中严斥卡尔达诺的失信行为,于是一场争吵无可避免地发生了。一时间,充满火药味的信件在双方之间飞来飞去。1548年8月10日在米兰的公开辩论使这场冲突达到白热化。卡尔达诺在这场公开辩论中自己避不出席而是派遣了一位学生出马。这个学生的名字叫费拉里(Ludovico Ferrari, 1522-1565),是我们故事中出场的最后一个人物。
       费拉里15岁时充当卡尔达诺的家仆。主人发现了他的出众才能,接受他为学生和助手。18岁时接替卡尔达诺在米兰讲学。其最大的贡献是发现四次方程的一般解法。现在这位以脾气暴躁著称且又忠诚的学生要报答老师的知育之恩了。在这场公开的辩论中,塔塔利亚先以三次方程的迅速解答取得优势,而费拉里则指摘对方不能解四次方程。于是一场数学论争逐渐演变成一场无聊的谩骂。
       最后客场作战的塔塔利亚以失败而告终,后者宣称了自己胜利。由于卡尔达诺最早发表了求解三次方程的方法,因而数学上三次方程的解法至今仍被称为“卡尔达诺公式”,塔塔利亚之名反而湮没无闻了。这对塔塔利亚来说似乎是太不公平了。不过,这又怎么样呢?在历史上,这类争夺优先权的论战又何止这一桩呢?随着时间的推移,多少年过去后,在当时对于个人如此重要的事,对后人而言却不过是“古今多少事,都付笑谈中”而已。
[第117楼]
  
 
 一元三次方程的形式
          一元三次方程的标准形式为
       ax^3+bx^2+cx+d=0,
       将方程两边同时除以最高项系数a,
       三次方程变为x^3+bx^2/a+cx/a+d/a=0,
       所以三次方程又可简写为x^3+bx^2+cx+d=0.
       一元三次方程的韦达定理
         设方程为 
         ax^3+bx^2+cx+d=0
          则有
          x1*x2*x3=-d/a;x1*x2+x2*x3+x3*x1=c/a;x1+x2+x3=-b/a;
       一元三次方程解法思想:
         一元三次方程解法思想是:通过配方和换元,使三次方程降次为二次方程求解.

 第一节    杨辉三角的横列性质
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           《周易·系辞上传》说:"易有太极,是生两仪,两仪生四象,四象生八卦。……"世间一切事物的发展,正是按这种"二项分裂"方式,由小到大和由简到繁的。由此可知,任何一个事物体系中,肯定都有这样一个"金字塔"式的结构。早在上万年乃至上百万年以前,我们中华民族的祖先伏羲氏,就鸟瞰这个"金字塔"式的事物结构,画成了以《八卦》和《六十四卦》为代表的《伏羲的宇宙坐标系》。其作用正如《周易·系辞上传》所说:"《八卦》而小成,引而申之,触类而长之,天下之能事毕矣。"
           既然《伏羲氏的宇宙坐标系》是一个"金字塔"式的结构(图1, 详见实物模形),如果不考虑其中个体的阴阳性质而只考虑它们的数目,那么这个"金字塔"的《侧面透视图》就构成了纯数量的《杨辉三角》(图2)。 对比《"金字塔"侧面透视图》和《杨辉三角》这两张图就会发现,前者第三层中间的两个实体相迭,就构成后者第三层中间的"2"; 前者第四层中间左边的三个实体和右边的三个实体分别相迭,就构成后者第四层中间左边的"3"和右边的"3";……依次类推,《金字塔侧面透视图》与《杨辉三角》恰好是完全吻合的。当然,前者偏重于描述阴阳爻体(即刚柔爻体)的性质及其地位,故用算筹的"层序合码"表示;而后者则偏重于描述阴阳爻体(即刚柔爻体)的数目及其规模,故不考虑其阴阳质及所在位置。二者最终都以公比为"2"的等比级数统一起来,即都符合20,21,22,……2n,……
           《杨辉三角》在我国亦称《贾宪三角》,其本名叫做《开方作法本源图》、《古法七乘方图》、《乘方求廉图》等。杜石然等《中国科学技术史稿(下册)·第七章》写道:"(公元)十一世纪中,贾宪在《黄帝九章算法细草》①中首先展出《开方作法本源图》,不仅列出各高次方展开式各项系数,并指出求这些数的方法。朱世杰《四元玉鉴》中,所称《古法七乘方图》,更推广至八次方,这两幅图的出现,表示在宋元时期,中国人己经掌握了高次幂的开方法。这种图是贾宪首创,理应称为《贾宪三角》"。又据《华罗庚科普著作选集·第一部分》说:"杨辉是我国宋朝时候的数学家,他在公元1261年著了一本叫《详解九章算法》的书,里面画了这样一张图(即图2),并且说这个方法是出于《释锁算书》,贾宪曾经用过它。但《释锁算书》早己失传,这书刊行的年代无从查考,是不是贾宪所著也不可知,更不知道在贾宪以前是否己经有这个方法"。我们通过对《伏羲古易》的研究以及近年来的考古发现,可以肯定地回答这个问题,即早在上万年乃至上百万年以前的伏羲时代,这个《杨辉三角》就已经存在了。
           文物出版社1982年10月出版了《西安半坡》一书,是西安半坡博物馆编写的,很有权威性。书中收录的一块距今大约六至七千年前的远古陶片上,就明明白白地刻画了这张作为"古法"和"本源"的《杨辉三角》示意图(图5-4甲乙)②。全国珠算科技知识竞赛组委会编写的《珠算科技知识·珠算史》一书认为"原始的计算工具……可能是石子等的圆形物。从新石器时代,在陶片上刻画的表示数目的符号,也可以证明这一点,在半坡出土的陶片上发现了……用圆点(圆圈)表示数字的图形"。邓球柏在《帛书周易校释》一书中更认为,这个三角形就是伏羲《连山易》的蓍策数,并名之为《原始河图洛书》。他写道:"《原始河图洛书》中的36个小圆圈组成的完全三角形(即等边三角形)数图,1+2+3+4+5+6+7+8=36,是一个算术级数(即等差级数)之和。这是中国五、 六千年前的文化遗产!"③邓球柏在《周易的智慧·卷一》中又提供材料说:"《元君庙仰韶墓地》图版一六(XVI)6,钵AC(M4B:5)则是用55个小圆圈组成的三角图。……这个三角图就是《原始河图洛书》……天地之数这和则为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55"④(图5-5) 。由此可见,所谓《杨辉三角》,其在中国历史上的出现是何等之久远!
           《杨辉三角》在西方被称为《算术三角形》或者《帕斯卡三角形》(也译作《巴斯加三角形》、《巴士卡三角形》)。李襄五等《科学发明大观》认为,法国帕斯卡(Blaise Pascal,1623-1662)在1636 年"玩数字游戏"时偶然发现的,并且说:"他发现这个有趣的三角形时,刚刚十三岁" ⑤。但是早在1527年即比帕斯长提前109年, 德国人阿批纳斯 ( Pertrus  Apianus,1495--1552),就已经把这个图形刊刻在自己数学著作的封面上了。由此看来, 在帕斯长偶然发现《杨辉三角》之前,《杨辉三角》早就已经由中国传入西方了。
           据华罗庚先生介绍,《杨辉三角》在本质上可以写成无限层次的代数形式(图5-6),其中
        , 表示从n件东西中取出r件东西的组合数。他写道:"这个三角形的两条边都是由数字"1"组成的,而其余的数都等于它肩上的两数相加(余按:边数也可理解为1+0)。例如2=1+1,3=1+2,4=1+3,6=3+3,……其实,《杨辉三角》正是按照这个规则作成的"。华罗庚先生得出的结纶是:"图中的任一数 等于它肩上的两数 和 的和。为了方便起见,我们把本来没有意义的记号 和 令它们分别等于1和0,这样就可以把刚才得到的结果写成关系式 + = (r=1,2,…n),而称它为《杨辉恒等式》。这是《杨辉三角》最基本的性质"。
           《华罗庚科普著作选集·第一部分》介绍说:"《杨辉三角》在我国古代大多是用来作为开方的工具。直到现在,我们在《代数学》中学到的开平方和开立方的方法,仍然是从《杨辉三角》中得来的。……从理论上说,有了《杨辉三角》,就可以求任何数的任意高次方根,只不过是次数愈高,计算就愈加繁复罢了"。他举例说,开平方有公式(a+b)2=a2+2ab+b2=a2+(2a+b)b,开立方有公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+(3a2+3ab+b2)b等。由此看来,要想《开方》,就必须先掌握《二项式定理》,否则,(a+b)n无法展开,也就没有了"开方"公式。《杨辉三角》首先解决的就是《二项式定理》,即解决了二项式展开后的项数和系数问题。明代数学家程大位(1533--1606)在《算法统宗(卷六)·少广章》指出:"此图虽吴氏《九章》(指明代英敬《九章详注比类算法大全》)内有自平方至五乘方,却平云如何作用,注解不明。今依图自上一○二得二为平方率,又并内○三、○三得三、三为立方率,又并内○四、○六、○四得四、六、四为三乘方率,……向下求三十余乘方皆取自然生率之妙。今爰《五乘方图》式可为求廉之梯阶。--又考其平方形如方田,以平方面自乘得平方积数,是一乘方。其立方形如骰子(方块状,赌博用量)样,以平方面自乘得平方积,再以高方面乘之得立方积数,是二乘方。其三乘方以平方面自乘得平方积数,又以高方面乘得立方积数,又以方面乘得三乘方积数,故曰三乘方。其形不知如何模样,只是取数而己。或至十乘方、三十余乘方,皆是先贤取生率之妙,以明开方正律,亦不可废"(图5-8)。 《中国科学技术史稿(下册)·第七章》说:"贾宪求《开方作法本源图》中各项系数的方法,就是贾宪在开平方、开立方中所用的新法,即随乘随加的《增乘方法》。用这个《增乘开方法》,可求得任意高次展开式系数,也可用这方法进行任意高次幕的开方,这是一项杰出的创造。……一百年后,秦九韶的《数书九章》把《增乘开方法》推广成为任意高次方程的数值解法"。
           当然,不管是"开方"还是"解方程",首先必须解决二项式展开式的系数问题,这就需要用到著名的《二项式定理》。《华罗庚科普著作选集·第一部分》写道:"一般地说,(a+b)n的展开式的系数,就是《杨辉三角》中第n+1行的数字:1,  ,   …, ,…,   ,1,即
        
           这便是有名的《二项式定理》"。
           例如:
           (a+b)0=1(a+b≠0)            ……一层(20)
           (a+b)1=a+b                   ……二层(21)
           (a+b)2=a2+2ab+b2              ……三层(22)
           (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3         ……四层(23)
           (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4    ……五层(24)
           华罗庚说:"顺便指出,由《二项式定理》可以得出一些有趣的等式,例如:
        
        。
       第一个等式说明《杨辉三角》的第n+1行的数字的和等于2n;而第二个等式说明它们交错相加相减,所得的数值是0"。
           华罗庚"顺便指出"的这两个"有趣的等式",使我们的研究又回到了《伏羲古易》的实际问题之中。首先,《周易·系辞上传》说:"易有太极,是生两仪。 两仪生四象,四象生八卦。……"而《杨辉三角》由上层到下层正是按这种"二项分裂"方式组成的。例如,第一层1=20,第二层1+1=21,第三层1+2+1=22,第四层1+3+3+1=23,……第n+1层 , 这种关系恰好是"第一个等式"。(图5-9)。其次,《周易·系辞上传》说:"一阴一阳之谓道", 即在《杨辉三角》中,每一层里的阴体数目和阳体数目都是相等的。例如,第二层有一阴一阳两个实体,故-1+1=0;第三层有二阴二阳四个实体,故-1+2-1=0。同样道理,第四层-1+3-3+1=0;第五层-1+5-10+10-5+1=0;……第n+1层 ,这种关系恰好是"第二个等式"。在《杨辉三角》中,我们更直观地看到,以中心垂线为对称轴,《杨辉三角》左右两半的数字相互对称。这种现象恰好说明,在《杨辉三角》同一层里的数字,"交错相加相减"的结果必然是0(图5-10)。
           综合上述,现将《周易》、《二项式》、《等比级数》、《杨辉三角》(二项展开式系数)等,列横向对照表于此,作为本节之小结(图5-11)。
       作者:张天开

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       杨辉三角最本质的特征是,它的两条斜边都是由数字1组成的,而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。 其实,中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章,而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。
[第120楼]
  
 
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  第二节       杨辉三角的斜列性质
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           《中国科学技术中史稿(下册)·第七章》载在一幅关于《杨辉三角》的古书面影印件,选自哪本古书没有说明,其中有关于《杨辉三角》的部分解释,内容是介绍贾宪《增乘开方法》的,很值得我们注意。(图表5-12)这幅古书的页面写道:“左袤乃积数,右袤乃隅算,中藏者皆廉。以廉乘商方,命实而除之。《增乘方求廉法草》曰:《释锁·求廉本源》列所开方数。如前五乘方,列五位隅算在外。以隅算一自下增入前位,至首位而止。首位得六,第二位得五,第三位得四,第四位得三,下一位得二。复以隅算如前阶增,递低一位求之。——求第二位。六,旧数。五加十而止,四加六为十,三加三为六,二加一为三。——求第三位。六、十五,并旧数。十加十而止,六加四为十,三加一为四。——求第四位。……”很明显,这些叙述已经涉及到了《杨辉三角》的斜列问题。如果我们把以上的叙述用示意图表达出来,那么求首位的途径就是A线所示的第二斜列6-5-4-3-2;求第二位的途径就是B线所示第三斜15-10-6-3;求第三位的途径就是C所示的第四斜列20-10-4;……(图表5-13)。
       
           关于《杨辉三角》的斜列,我们通过研究发现它有两个性质。其一,《杨辉三角》中间的每一个数,都等于它左肩向右斜到顶各数的级数之和,同时也等于它右肩向左斜列到顶各数的级数之和。例如第七层的15=5+4+3+2+1(左肩向右斜到顶的级数),同时15=10+4+1(右肩向左斜到顶的级数)。再如第六层10=6+3+1=4+3+2+1。又如第七层6=5+1=1+1+1+1+1+1(图11)。其二,《杨辉三角》从右上到左下(同时从左上到右下)的每一斜列数字,都构成一个高阶等差级数,并且这个高阶等差级数把所表示的事物堆积成一个固定的垛形。例如,最上斜列1+1+1+……为零阶等差级数,成《柱形垛》;次上斜列1+2+3+……为一阶等差级数,成《茭草垛》;第三斜列1+3+6+……为二阶等差级数,成《三角垛》;第四斜列1+4+10+……为三阶等差级数,成《撒星垛》;第五斜列1+5+15+……为四阶等差级数,成《三角撒星垛》;……(图表5-15)。《杨辉三角》本身成《茭草垛》,《杨辉三角》中的《高阶等差级数》内部结构即若干次差也成《茭草垛》(图表5-16)。
       
       《华罗庚科普著作选集·第一部分》说:“大家知道,如果一个级数的每一项减去它前面的一项所得的差都相等,这个级数就叫做《等差级数》。但对于某些级数而言,这样得出来的差并不相等,而是构成一个新的等差级数,那么我们就把它叫做《二阶等差级数》。……同样,如果一个级数的各项同它的前一项的差构成一个二阶等差级数,便叫做《三阶等差级数》。这个定义很自然地可以推广到一般的情形:设r是一个正整数,所谓《r阶等差级数》,就是这样的级数,它的各项同它的前一项的差构成一个r-1阶等差级数”。华罗庚还说,二阶以上的等差级数,总称为《高阶等差级数》。但是,在这里为了研究《杨辉三角》斜列性质叙述之方便,我们连同《零阶等差级数》(1+1+1+……)和《一阶等差级数》(1+2+3+……),也统一地称为《高阶等差级数》。
       
           华罗庚(1910-1985,图表5-17)给出的《高阶等差级数》求和公式有两个。其一是 ;其二是 。至此,我们再回到《杨辉三角》的斜列性质上来。在这两个公式中,当r=0,1,2,……n时, 所出现的高阶等差级数,恰好与《杨辉三角》的斜列数字逐一吻合,即——
       
           第一斜列(r=0): ;
       
           第二斜列(r=1): ;
       
           第三斜列(r=2): ;
       
           第四斜列(r=3):  ;
       
         …………(……) …………                           …………
       
           作为高阶等差级数,《杨辉三角》的斜列数字恰恰是用以“堆垛”的工具。王培甫《数学史小词典》为《杨辉的堆垛术》作注说:“宋朝数学家杨辉于1261年提出这样一个问题:将圆弹堆成三角垛,底层是每边n个的三角形, 向上逐层每边少一个,顶层是一个。求总数。这实际上是一个数列求和问题:Sn=1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+…+n)=1+3+6+…+ n(n+1)= n(n+1)(n+2)。 《杨辉三角》中也体现了这一规律”。事实上,杨辉提出的这个《三角垛》就是《杨辉三角》的第三斜列,即二阶等差级数1+3+6+…+ n(n+1)= n(n+1)(n+2)。《杨辉三角》本身则是它的第二斜列组成的《茭草垛》,即一阶等差级数1+2+3+…+n= n(n+1)。值得注意的是,程大位《算法统宗·卷七》在讲述《堆垛歌》时,所用《一面平垛图》和《一面尖堆图》都是用小黑圆点绘制的,这正好与西安半坡遗址出土的远古陶片上,用小黑点表示的《杨辉三角》是相互一致的(图表5-17-2)。程大位在这里讲述的《堆垛歌》很有实用价值。他写道:“缶瓶堆垛要推详,底脚先将阔减长。余数折来添半个,并入长内阔乘良。再将阔搭一乘实,以三除之数相当。一面尖垛尺添一,乘来折半积如常。三角果垛亦堪知,脚底先求个数齐。一二添来乘两遍,六二取一不差池。要知四角盘中果,添半仍添一个随。乘此数来以为实,如三而一法求之”。
       
           我们对《杨辉三角》斜列的前六层研究后发现,它们与中国古代著名的几个堆垛形状是逐一对应的关系,即——
       
           第一斜列,零阶等差级数,成《柱形垛》:
       
           。
       
           第二斜列,一阶等差级数,成《茭草垛》:
       
           。
       
           第三斜列,二阶等差级数,成《三角垛》:
       
           。
       
           第四斜列,三阶等差级数,成《撒星垛》:
       
           。
       
           第五斜列,四阶等差级数,成《三角星垛》:
       
       。
       
           第六斜列,五阶等差级数,成《三角撒星更落一形垛》:
       
       。
       
           ——根据这前六层的情况,可以总结出《杨辉三角》斜列所表示的《高阶等差数列》的一般公式:
       
       第A斜列——A-1阶等差级数——成某垛形:
       
           
       
               《杨辉三角》斜列彼此相乘,或者与其它级数相乘,等等,还可以产生出许多变体垛形。
       
           例如:
       
           甲、第二斜列与第三斜列相乘,即一阶等差级数与二阶等差级数各项对应相乘,得《岚峰形垛》:
       
       1×1+2×3+3×6+4×10+5×15+…+n n(n+1)
       
       =1+6+18+40+75+…+ n2(n+1)
       
       = n(n+1)(n+2)(3n+1)
       
           乙、第二斜列与第四斜列相乘,即一阶等差级数与三阶等差级数各项对应相乘,得《岚峰更落一形垛》:
       
           1×1+2×4+3×10+4×20+5×35+…+n n(n+1)(n+2)
       
         =1+8+30+80+175+…+ n2(n+1)(n+2)
       
         = n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1)
       
           ——由这两个级数可以得到它们的一般公式:
       
            
       
       丙、第三斜列与奇分子级数 (2n+1)相乘,即二阶等差级数与 (2n+1)各项对应相乘,得《四角落一形垛》,其中(2n+1)代表奇数1,3,5,…
       
           
       
           
       
            丁·第二斜列乘第三斜列再乘奇分子级数 (2n+1),即一阶等差级数乘二阶等差级数再乘奇分子级数 (2n+1),得《四角岚峰形果子垛》。其中,(2n+1)代表奇数1,3,5,……
       
           
       
           
           
       
           戊.第二斜列与级数3n相乘,即一阶等差级数与级数3n各项对应相乘,得《茭草一形垛》。其中n=2,3,4,……
       
           1×9+2×12+3×15+4×18+…+n(3n+6)
       
          =9+24+45+72+…+3n(n+2)
       
          = n(n+1)(6n+21)
       
           ——由这三个级数可以得到它们的一般公式:
       
           
       
           当然,“积垛术”并不完全依赖于《杨辉三角》斜列所给出的等差级数。事实上,利用等比级数或其它方法,也可以将事物堆积成某种固定的垛形。例如,《杨辉三角》从表面看来,它符合本身第二斜列由一阶等差级数构成的《茭草垛》,即1+2+3+…+n= n(n+1)。但它的实际内容却如《周易·系辞上传》所说:“易有太极,是生两仪。两仪生四象,四象生入卦……”,是一个由二项分裂构成的等比级数,即20+21+22+…2n= 。应用这个等比级数堆积的垛形, 就是前文所说的“金字塔”结构。从实物模形上看,它很象一个底大尖小的圆锥形金字塔,只不过没有周围的四个棱子罢了。从它的“二项分裂”等比级数来看,即从1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+…+2n+…来看,它的个体递增速度是非常惊人的。事实上,只有把外围的刚柔个体均匀地分布在核心“太极”的上下前后左右之周围,使其成为一个类似银河系的球体或扁球体结构,才能满足更多层次刚柔爻体成员的空间位置需求。在实际生产和生活当中,“金字塔”结构和“银河系”结构,都可以描述相同的或相类似的社会群体。例如,我们说“团结在以毛泽东为首的党中央周围”,运用的是“金字塔”结构,即以毛泽东为首的党中央在上,各级干部及普通百姓在下,形成“金字塔”结构,或者以毛泽东为首的党中央在前,各级干部及普通百姓在后,形成“扫帚星”结构。当然,我们也可以说,“团结在以毛泽东为核心的党中央周围”,这里运用的就是“银河系”结构了。在纯数学上,为了更加简单的描述《周易》中的“二项分裂”结构,远古圣人就发明了《杨辉三角》,舍弃其中爻体的阴阳刚柔性质,仅仅保存了其中的数目关系。
       
           在实际生产和生活当中,脱离开《杨辉三角》斜列等差级数,积垛方法还有许多。例如:
       
           正方台垛: ;
       
           长方台垛: ,
       
       又: (仅知底边及高); 
       
       平方锥垛: ;
       
           平方奇锥垛: 
           立方锥垛: 
           立方奇锥垛: 
           …………          …………               …………
       
           代数式中的单项式和多项式合称为整式。《杨辉三角》研究的仅仅是整式里的二项式问题。对于全体整式来说,它们展开式中的项的数目,跟《杨辉三角》斜列的高阶等差级数,也成逐一对应的关系。即当整式为1项时,其展开式项数随n 的增大(n=0,1,2…)而成为《杨辉三角》的第一斜列,即1+1+1+…+1=n。当整式为2项时,其展开式项数随n的增大(n=0,1,2,…)而成为《杨辉三角)的第二斜列,即1+2+3+……+n=1/2n(n+1)。当整式为3项时,其展开式项数随n的增大(n=0,1,2,…)而成为《杨辉三角》的第三斜列,即1+3+6+…1/2n(n+1)=1/6n(n+1)(n+2)。当整式为4项时, 其展开式项数随n的增大(n=0,1,2,……)而成为《杨辉三角》的第四斜列,即1+4+10+…+1/6n(n+1)(n+2)=1/24n(n+1)(n+2)(n+3)。当整式为5项时,其展开式项数随n 的增大(n=0,1,2,……)而成为《杨辉三角》的第五斜列,即1+5+15+…+1/24n(n+1)(n+2)(n+3)=1/120n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)。依此类推(图5-20)。
       
           为了更好地说明整式的项数和整式展开式的项数之间的关系,我们就以大家都熟悉的二项式及其展开式为例。按照上述结论,当整式为2项时,其展开式项数随n的增大n=0,1,2,……)而成为《杨辉三角》的第二斜列,即1+2+3+…+n=1/2n(n+1)。事实上的确是符合这一规律的。当n=0时,(a+b)0=1(a+b≠0),其展开式为1项;当n=1时,(a+b)1 =1,其展开式为2项;当n=2时,(a+b)2=a2+2ab+b2,其展开式为3项;当n=3 时,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,其展开式为4项;当n=4时,(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,其展开式为5项;……我们知道,在二项式展开式中, 每一项都有一个系数,而且这些系数推积成《杨辉三角》。所以,二项式展开式“系数”的个数,就是二项式展开式“项数”的个数,两者是完全相等的,并且都等于《杨辉三角》第二斜列相应的数字n+1。因此,要想知道二项式的n次方展开式的项数和系数,只要按照相应的数字n+1去查一查《杨辉三角》就清楚了。例如,当n=3时,我们只需要查《杨辉三角》的第n+1行即3+1=4行,就知道其系数为1,3,3,1,其第二斜列相应数字为4,故知道它有4项。当然,我们也可以用另外一种更直观的方法,这就是要弄清当n为某层时其展开式项的个数,只要数一数《杨辉三角》对应层系数的个数,就可以得到准确的答复。例如,当n=5时,(a+b)5在《杨辉三角》对应层的系数为1,4,6,4,1为五个,故其展开式为5项;当n=6时,(a+b)6在《杨辉三角》对应层的系数为1,5,10,10,5,1为六个,故其展开式为6项;当n=7时,(a+b)7在《杨辉三角》对应层的系数为1,6,15,20,15,6,1为七个,故其展开式为7项;……我们总结规律发现,二项式的次数加一(n+1),恰好与其展开式的项数相等,两者都等于《杨辉三角》第二斜列的一阶等差级数,即1+2+3+ …+n=1/2n(n-1)。
[第122楼]
 
三级等差数列的含义就是数列由原数列变化2次后得到的新数列 
       举例如下: 
       1,3,6,11,19,31相邻两项相减 
       2,3,5, 8, 12相邻两项相减,为二级等差数列 
       1,2, 3, 4,为三级等差数列

观察了解事物,我们的先祖早在远古时代,就创造了一个完备而且科学的方法理论体系。这个体系,就是《易经》里的阴阳学说。考古发现的太极无极阴阳图(参阅附图),就为人们提供了直观的分解事物的方法理论。乾坤是一个太极,它可以分解为天、地两个概念。再从天而进入分解,可以分解为白天、夜里两个概念。按照这种一分解为二的方法,可以一直的分解下去,直至人们没有了分解的手段和办法,事物还是可以分解的。事物是可以无限分割的。所谓分解:分是分析、分类。分析的目的,就是为了认识和了解事物,进而掌握运用。现在大多数人都知道这个道理,但是能够自觉地运用这个方法去解决我们所遇到的问题,那就不一定了。 
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           邵雍在观物篇里的这段话,就是在提醒人们,不要丢掉这个祖先留下的唯一正确的见一分二法,也就是穷尽分解法。这个方法,被后世的人们广泛地应用到至今,为人类创造出了一个又一个的奇迹。当今世界众多的科学家中,最尖端的科学人才大多都是我们中国人,为什么呢?我看这与中国人牢牢地抓着这个分解方法有着不可分割的内在联系。要把这个方法理论,应用到我们的实际生活中来解决问题。在这个世界上,没有解决不了的问题,只有没有找到解决问题的方法。那么,我们还有什么理由不把这个解决问题的正确方法应用到我们的实际生活里?!一分为二,用于生活,让我们的生活更加美好! 
           一个人的精力、能力、乃至生命都是有限的,只有使用穷尽分解法,进入某个领域系统里的某个点上,去继续深入分解研究,才能发挥出个人在那个方面的卓越才能。穷尽分解造福人类!

  在我们生活的乾坤天地里,有众多生命存在着,数都数不清。也无法确定有多少种东西。要认知那些东西没有科学的方法是不行的。北宋大学问家邵雍就为人类提供了一个科学分类的方法。对可以行走的动物分解为:行走的动物、飞行的动物两大类。在这两大类中又分出适应暑和寒的两类。在暑中又分出适应白天和夜里的两大类型。在寒中又分出适应白天行走的动物和适应在夜里行走的动物。这种一分为二的分解方法可以使我们对要研究的对象进入一个科学的分析系统。(请参阅分解图)这样我就在这里解读一个系列,大家对其他就可以依理解读了。 
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           走,感暑而变者,性之走也;感寒而变者,情之走也;感昼而变者,形之走也;感夜而变者,体之走也。 
           在可以行走的动物中,可以感受暑热气候而演变的动物,是属于适应热带性的动物;可以感受寒气而演变的动物,是属于适应寒带情况的动物。可以感受白天而演变的动物,是属于适应白天生存的那个形态。可以感受夜里而演变的动物,是属于适应夜里生存的那个体系。

人为万物之灵,寄类于走。走,阴也,故有百二十。
       
       有一日之物,有一月之物,有十岁之物,至于百千万皆有之。天地亦物也,亦有数焉。雀三年之物,马三十年之物,凡飞走之物,皆可以数推,人百有二十年之物。
       
       易之数,穷天地始终。或曰天地亦有始终乎?曰既有消长,岂无始终,天地虽大,是亦形器,乃二物也。
       
       昊天生万物,圣人生万民。
       
        天道之变,王道之权。
       
        为治之道,必通其变,不可以胶柱,犹春之时,不可以行冬之令。

  开普勒第一定律(轨道定律):所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上。

 开普勒第二定律(面积定律):对于任何一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间扫过的面积相等。

 用公式表示为:SAB=SCD=SEK   简短证明:以太阳为转动轴,由于引力的切向分力为0,所以对行星的力矩为0,所以行星角动量为一恒值,而角动量又等于行星质量乘以速度和与太阳的距离,即L=mvr,其中m也是常数,故vr就是一个不变的量,而在一短时间△t内,r扫过的面积又大约等于vr△t/2,即只与时间有关,这就说明了开普勒第二定律。

  开普勒第三定律(周期定律):所有的行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。   用公式表示为:R^3/T^2=k   其中,R是行星公转轨道半长轴,T是行星公转周期,k=GM/4π^2=常数

    首先,开普勒定律在科学思想上表现出无比勇敢的创造精神。远在哥白尼创立日心宇宙体系之前,许多学者对于天动地静的观念就提出过不同见解。但对天体遵循完美的均匀圆周运动这一观念,从未有人敢怀疑。开普勒却毅然否定了它。这是个非常大胆的创见。哥白尼知道几个圆合并起来就可以产生椭圆,但他从来没有用椭圆来描述过天体的轨道。正如开普勒所说,“哥白尼没有觉察到他伸手可得的财富”。

 其次,开普勒定律彻底摧毁了托勒密的本轮系,把哥白尼体系从本轮的桎梏下解放出来,为它带来充分的完整和严谨。哥白尼抛弃古希腊人的一个先入之见,即天与地的本质差别,获得一个简单得多的体系。但它仍须用八十几个圆周来解释天体的表观运动。开普勒却找到最简单的世界体系,只用七个椭圆说就全部解决了。从此,不须再借助任何本轮和偏心圆就能简单而精确地推算行星的运动。

  第三,开普勒定律使人们对行星运动的认识得到明晰概念。它证明行星世界是一个匀称的(即开普勒所说的“和谐”)系统。这个系统的中心天体是太阳,受来自太阳的某种统一力量所支配。太阳位于每个行星轨道的焦点之一。行星公转周期决定于各个行星与太阳的距离,与质量无关。而在哥白尼体系中,太阳虽然居于宇宙“中心”,却并不扮演这个角色,因为没有一个行星的轨道中心是同太阳相重合的。

  被称为“星子之王”的第谷·布拉赫在天体观测方面获得不少成就,死后留下20多年的观测资料和一份精密星表。他的助手开普勒利用了这些观测资料和星表,进行新星表编制。然而工作伊始便遇到了困难,按照正圆轨道来编制火星运行表一直行不通,火星这个“狡猾家伙”总不听指挥,老爱越轨。经过一次次分析计算,开普勒发现,如果火星轨道不是正圆,而是椭圆,那么矛盾不就烟消云散了吗。经过长期细致而复杂计算以后,他终于发现:行星在通过太阳的平面内沿椭圆轨道运行,太阳位于椭圆的一个焦点上。这就是行星运动第一定律,又叫“轨道定律”。

   当开普勒继续研究时,“诡谲多端”的火星又将他骗了。原来,开普勒和前人都把行星运动当作等速来研究的。他按照这一方法苦苦计算了1年,却仍得不到结果。后来他发现,在椭圆轨道上运行的行星速度不是常数,而是在相等时间内,行星与太阳的联线所扫过的面积相等。这就是行星运动第二定律,又叫“面积定律”。

  开普勒又经过9年努力,找到了行星运动第三定律:太阳系内所有行星公转周期的平方同行星轨道半长径的立方之比为一常数,这一定律也叫“调和定律”。

  牛顿利用他的第二定律和万有引力定律,在数学上严格地证明开普勒定律,也让人们了解当中的物理意义。事实上,开普勒定律只适用於二体问题,但是太阳系主要的质量集中於太阳,来自太阳的引力比行星之间的引力要大得多,因此行星轨道问题近似於二体问题。   开普勒发现的行星运动定律改变了整个天文学,彻底摧毁了托勒密复杂的宇宙体系,完善并简化了哥白尼的日心说。

   开普勒研究所根据的资料都是凭肉眼观测的,随着望远镜等精密仪器的出现,发现开普勒定律只是近似的,行星实际的运动情况与开普勒定律有少许偏差。造成这种情况的原因是:由于太阳也受到行星的吸引,它也有加速度,而并不是静止的。实际上太阳和许多行星都绕他们的质心各自做椭圆轨道运动。因此行星椭圆轨道半轴长(平均半径)三次方与运行周期的二次方之比已不再是常数,开普勒第三定律应修正为   R1^3╱T1 ^2 =R2^3 ╱T2^2 = (M+ m1)╱(M+ m2)   其中R1 和 R2 是行星的轨道半轴长,M是太阳的质量, T1 、T2是它们的运行周期,m1、m2是它们的质量。   如果要考虑其他行星的吸引,此时只能用微扰法解决。[

   
基本面分析和技术面分析 - zhangguojun1181 - 黑白斋主——奇门探索录

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