注册 登录  
 加关注
   显示下一条  |  关闭
温馨提示!由于新浪微博认证机制调整,您的新浪微博帐号绑定已过期,请重新绑定!立即重新绑定新浪微博》  |  关闭

黑白斋主——奇门探索录

博学之,审问之,慎思之,明辨之,笃行之。

 
 
 

日志

 
 

斐波那契数列与黄金分割  

2011-05-31 20:06:26|  分类: 河洛八卦 |  标签: |举报 |字号 订阅

  下载LOFTER 我的照片书  |

斐波那契数列与黄金分割
                                                                                                            

林 炳 生
一、由来
  公元十三世纪,意大利数学家斐波那契(约1170~1250年)在他的著作《计算之书》(又译作《算盘书》)第12章里,提出了一个有趣的“兔子问题”,八百年来这个题目一直成为人们讨论和研究的课题。
书中的“兔子问题”大意是这样的:一年内兔子可以繁殖到多少对?某人有一对兔子,如果每对兔子每月生一对小兔子,而小兔子出生后,第二个月就能生育,因此在第1个月有2对兔子,第2个月有3对兔子,第3个月就有5对兔子,……以后每个月的兔子数都等于前两个月兔子数的和,这样就可以得到每个月的兔子数。到第12个月就有377对兔子。列表如下:
月份  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
兔子对数 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377
后来大家把兔子对数形成的数列叫做斐波那契数列。几百年来不断有人对它进行研究,取得了许多研究成果。直到现在仍然有许多学者在对它进行研究,二十世纪由美国学者勃鲁索(B.A.Brousseau)等人发起成立了斐波那契学会,于1963年起出版《斐波那契季刊》(《The Fibonacci Quarterly》),不断发表了许多论文,这个看似简单的问题能引起大家的如此关注,真是人们意想不到的。

二、斐波那契数列
为了研究问题的方便,我们把
        1,1,2,3,5,8,13,……
构成的数列   也叫做斐波那契数列,这里  如果将   的斐波那契数列各项列成表,就是下面的表:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2587


19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229


30 31 32 33 34 35 36 37

832040 1346269 2178309 3524578 5702887 9227465 14930352 24157817


38 39 40 41 42 43 44

39088169 63245986 102334155 165580141 267914296 433494437 701408733


45 46 47 48 49 50

1134903170 1836311903 2971215073 4807526976 7778742049 12586269025
大家可以看到,这个数列后面的项越来越大。如果兔子的数目真的像这样繁殖下去,4年功夫就会由一对兔子繁殖到约126亿对之多,这真是太吓人了。

三、斐波那契数列的通项公式
研究一个数列,我们总想找到它的通项公式。
1611年,开普勒将斐波那契数列写成下面的形式:
     
这也可以算作是斐波那契数列的通项公式,不过它是以递推关系的形式给出的。
后来,在1843年法国人比内证明了下面的公式:

这个公式可以用数学归纳法来证明。
证明:   
  
公式成立。
如果   时成立,则

        
        。证毕。
上述公式也叫比内公式。它还有另外一种表现形式:

这里 的意思是表示取不超过 的最大整数。
例如   ,  = =

四、斐波那契数列的性质
性质1    。
    证明:用数学归纳法来证明。
当   时,    ,命题成立。
如果   时命题成立,则
           

    两式相加,得
           
                       
     就得到命题的结论。
性质2   =  。
证明:在性质1中取   ,即得证。
性质3     。
证明: 在性质1中取   ,即得证。
性质4   
证明:  
                  
性质5     。
证明: 在性质1中取   ,综合性质2和性质3,得

性质6    。
证明: 由性质2,得

即得证。
性质7  若   ,则   。
证明: 因为   ,设   ,这里   ,  ,  都是正整数。我们用数学归纳法来证明,对  进行归纳。
      当  时,  ,结论显然成立。
      假设   时成立,即   ,
      则   时,
         
               
               
               
       因为  ,  ,所以    。
       这就证明了对任何自然数  ,结论都成立。
五、斐波那契数列前n项的和
由于   
所以   
因此
  
因此得
公式一   
类似地还可以得到下面一些求和公式。证明从略。
公式二   
公式三   
公式四   
公式五   
公式六   
公式七   
……
六、斐波那契数列前项与后项比的极限
我们将斐波那契数列的前面一项除以后面一项,假设得到下面一个无限分数数列:

这个分数数列除第一项外,每一项都是真分数,而且“忽大忽小”地排列着。我们将这些分数化为小数,计算到小数点后第6位,结果如下:
   


如果将这些分数用点描写在数轴上,可以看作它的变化很有规律:它们在某一个数的左右两边“摆动”,而且渐渐地靠近这一个数。这是一个什么数呢?

由     两边除以 得
     或      
我们知道 ,所以分数   和  都是真分数(n≥1),当n→+∞,这两个分数的极限应当是相同的。设    =   =   则有

即 ,   解得
的值是一个正数,负根应当舍去,   
可见上述分数数列的极限是 。
大家会发现,上面我们计算的14个分数的值,左边7个分数的值都比 略大,右边7个分数的值都比 略小。而且不论是大是小,后一个分数的值总比前一个更接近 。
还有一个有趣的事实。在推导上述极限值的过程中,我们并没有用到 等条件,而只是用到 ,因此有许多满足这个关系式的循环数列,再用循环数列构成无限分数数列,它们的极限值也都是 。
例如,由循环数列

构成无限分数数列

它们的极限值也是 。

七、黄金分割
看到0.618,大家会马上想到“黄金分割”。什么是“黄金分割”?
设线段 的长是单位1。点 将 分为两段 和 ,如果 : = : ,点 称为“黄金分割”点。



设   = ,  则   =1- .  由上述比例式得

即        或     。
这就是我们上面解过的方程。因此 的长是 长的0.618倍。这个比值大家都称它为“黄金比”。
如果一个组矩形的宽与长的比值是黄金比,这样的矩形大家都觉得非常美观、协调。这样的矩形叫做“黄金比矩形”。
下面证明一个有趣的性质。
设 是线段 的黄金分割点, 是 的中点, 是 点关于 点的对称点。则 是 的黄金分割点。
证明:设 =1, 则 = ,  因 是 点关于 点的对称点,



则 = =  ,  可见 是 的
倍,即 是 的黄金分割点。
如果我们剪掉 (或 ),剩下 (或 )还是剩下线段的黄金分割点,我们继续找出剩下线段的中点,以及黄金分割点的对称点,又可以得到第三代黄金分割点。这样可以一直对折下去,找出许许多多的黄金分割点。
以上性质被应用于优选法的“对折法”里,它是“对折法”的数学依据。谁能想到800年前的“兔子繁殖”问题竟然在现代数学中找到它的应用,真是不可思议的事情。
下图是一个正五边形,把它的5条对角线 连接起来,就会得到一个五角星形。
我们的国旗上有这样的大小五角星共5个。五角星形是大家喜形,
它也与黄金分割有联系。
正五边形ABCDE的每一个内角是

,所以在等腰三角形 中,
, 。
也是等腰三角形。因为 所以 。可得     。
设 的长是单位1, 的长为 ,则 = = , 因此  = . 则有:

则            或           所以   
我们又得到了这个方程,可见 点是 的黄金分割点。不仅如此,五角星形里面又有一个正五边形,又可以连接出一个更小的五角星形,等等。在这个图形中还可以找到许许多多黄金分割点,如果你有兴趣,不妨找找看。
右图是一个等腰三角形,它的底角是顶角的
2倍,那么这样的三角形就叫做黄金三角形。
因为三角形 的内角和是180度,所以容易
算出这种三角形的顶角是36度,底角是72度。
作底角 的角平分线 ,得到三角形 。容易
证明它也是一个黄金三角形。
因此    ,那么
   , 且   ,即  
由此可知, 是 的黄金分割点。
    如果继续不断地作较小的黄金三角形的底角平分线,我们会得到一连串的黄金三角形。

八、无限平方根式和无限连分数
1、求无限平方根式 的极限值。
假设   
两边平方,得
而表达式右边平方后只需去掉一个根号,所以等式右边加号后的表达式也是无穷的,它也应当等于假设的数 。
因此      
所以      
              
显然   ,   所以   
这个值与 有很密切的关系。事实上,

另外    ,  可见 的倒数就是 。
2、求无限连分数的值:

     设   
     我们立即可以得到   
      所以       ,   
     大家立即会求出这个无限连分数的近似值也是0.618。有人(保罗 布鲁克)作了一首诗来赞美它:
              我用连分数来表达俺,
              我说1,1,1,直到你心烦,
              经过化简的我,又最简单,
              是不是能打动你的心弦?

九、黄金比矩形
下面的矩形OABC是一个黄金比矩形,即它的宽与长的比是 。
在矩形OABC中,假设OA=1,OC= ,在矩形的左边剪下一个边长为 的正方形,得到一个个较小的矩形,这个小矩形的长是 ,宽是 。它的宽与长的比是

可见这个小矩形也是一个黄金比矩形。这样不断地剪下正方形,就不断地得到更小的黄金比矩形,无限地进行这个过程,可以得到更小的黄金比矩形。大家可以想象,这一系列连续缩小的矩形会聚向一点,但永远也达不到这一点。数学家克里福德 皮克福说:我们永远达到不了的点是“上帝之眼”。而这个点可以在图上画出来,在两个矩形上各连一条对角线,它们的交点P就是这个点——所谓“上帝之眼”。(见上图)
下面我们来确定交点P的位置。
如上图建立直角坐标系, 、 、 、 的坐标分别是:
      ( 1,0)    (1,  )   (0,  )   ( ,0)
则直线  的方程为 (为计算方便,记 )
               化简得   
   直线BD的方程为
             化简得   
  解这个方程组得        
  将 的值代入计算并化简,得

       即 点的坐标是( )。

十、斐波那契数列相邻项的关系
1、若   是斐波那契数列的三项,则
                  
证明:     

2、若   是斐波那契数列相邻的三项前n项, 则
           
证明:(用数学归纳法)
        时, 等式成立。事实上
        
假设   时等式成立,则 时
     
由归纳假设
   
所以   时,等式也成立,因此对于任意自然数 , 等式都成立。
   
3、斐波那契数列中任意相邻的4项   都有下面的等式:
                       
证明:(用数学归纳法)
时, 等式成立。事实上
            
  假设   时等式成立,则 时
  
由归纳假设
   所以  则
上式=  
      =  
      =  
      =  
所以   时,等式也成立。因此对于任意自然数 , 等式都成立。
  例如, ,   ,  ,   ,   
               

              

4、从斐波那契数列中任意选出连续10项,则这10项的和刚好等于第7项的11倍。即   
      先看一个实例。任意选出连续10项是
      
它们的和是10857。 第7项是987,   。
     这一结果的确让我们大吃一惊。
     下面对这个结论进行证明。
      证明:因为   
             所以     ,   
        则      
              
               
                 
              
            
            
我们先计算      
      ,     ,   ,      ,   

类似地,
代于前面的式子

      故得证。








幻方
林炳生
  一、世界上第一个幻方
据史书上记载,在公元前2200年,传说大禹在治理黄河的时候,黄河龙马献给大禹一张河图,又有传说大禹在治理洛水时,洛水神龟献给大禹一本洛书,有下面所示的一幅图,这幅图用现在的数字符号写出来就是一个3阶幻方。




这是世界上发现的最早幻方,它是将1~9这9个数排在3×3的方格中,每行、每列以及两条对角线上的3个数的和都是15。
一般说来,如果将1~ 这些数排在   的方格中,每行、每列以及两条对角线上的  个数的和都是相等的,我们把这样排列着的数字图形叫做幻方。因为每行、每列都有 个数,因此也叫  阶幻方。
上面的3阶幻方经过旋转、镜面反射变换,一共可以得到8个3阶幻方。以图(1)为基准,在同一平面内旋转90°,180°,270°,得到图(2),(3),(4)。再将图(1),(2),(3),(4)沿竖直中心面作镜面反射,分别得到图(5),(6),(7),(8)。这8个图虽然不同,但就九个数之间相互位置关系来说,并无变化,所以可以视为同一幻方。因此3阶幻方就只有一种,以图(1)作为代表。

4 9 2  2 7 6  6 1 8  8 3 4
3 5 7  9 5 1  7 5 3  1 5 9
8 1 6  4 3 8  2 9 4  6 7 2

    图(1)             图(2)            图(3)             图(4)

2 9 4  6 7 2  8 1 6  4 3 8
7 5 3  1 5 9  3 5 7  9 5 1
6 1 8  8 3 4  4 9 2  2 7 6

            图(5)             图(6)              图(7)             图(8)
我们知道 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45, 45÷3 = 15,所以3阶幻方每行、每列以及两条
对角线上的 3个数的和都是15。15这个数叫做3阶幻方的幻方常数。
类似地,4阶幻方的幻方常数是(1+2+3+……+16)÷4 = 34 ;5阶幻方的幻方常数是 (1+2+3+……+25)÷5 = 65, ……
一般地,  阶幻方的幻方常数是:

二、3阶幻方的构造方法
对于3阶幻方,我国古代南宋时期的数学家杨辉在《续古摘奇算法》一书中给出了构造的方法。他还把构造的方法、过程和最后形成的3阶幻方总结为8句话:
“九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出。戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足。”



九子斜排           上下对易           左右相更            四维挺出

这种构造方法,既简单明了,又容易记忆。而且后面4句话非常形象地描述了这九个数所在的位置。除了中间的5不用说以外,其余8个数所在的位置形象地比喻为一个人的各个部位,非常生动具体。

三、4阶幻方的构造方法
杨辉构造4阶幻方的方法,也非常简单,易于操作。他在书中写道:
“以十六子依次作四行排列。先以外四角对换:一换十六,四换十三。后以内四角对换:六换十一,七换十。”

1 2 3 4  16 2 3 13  16 2 3 13
5 6 7 8  5 6 7 8  5 11 10 8
9 10 11 12  9 10 11 12  9 7 6 12
13 14 15 16  4 14 15 1  4 14 15 1
依次四行排列              外四角对换                内四角对换
这样我们就得到一个4阶幻方。大家一定会说,这种方法太好了。真简单!
这里要说明的是,4阶幻方一共有880种基本形式,如果经过旋转和镜面反射变换,总共可以构造出7040个(880×8=7040)4阶幻方。因此构造4阶幻方还有许多其他的方法。

    四、奇次阶幻方的构造方法
(一)、连续写数法  奇次阶幻方有许多种构造方法,这里先介绍一种最简单的方法,这种方法如同下棋布子,按部就班,井然有序,依次将1~ 填入 个方格中即可。我们以5阶幻方为例来说明这种方法任何构造奇次阶幻方的。据说这种方法出自泰国,大约在公元17世纪由古代暹罗人创造的。
下面是一个5阶幻方,它是怎样构造出来的呢?
1、 先将1写在中间一列的最上格;
2、 以后依次写2,3,4,5,……每个数都是写在前一个数的右上格;
3、 如果右上格不在图形里,就写在下一列(或上一行)的最下边(或最左边)。例如2就写在第4列的最下边,4写在第3行的最左边;
4、 如果右上格里已经填了数,或者写到了图形的右上角,那么下一个数就写在这个数的下面。例如5,16就是这样写出来的。
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9

这样就很快地构造出一个5阶幻方(见上图)。其他7阶幻方,9阶幻方,……也都可以如法炮制,一点也不困难。当然,这种方法也适用于构造3阶幻方。
(二)、阶梯法  这种方法也适用于构造任意奇次阶幻方。我们也以5阶幻方为例来说明这种方法。
1、先将1~25各数顺次排成5×5斜方格阶梯状;(见下左图)
2、5×5方格外的数1、6、2;24、20、25;16、21、22;4、5、10分别关于中心轴作镜面反射;(见下中图)
3、再将上述各组数又分别关于所在的边作镜面反射。(见下右图)




这样就构造出了一个5阶幻方。
大家可以分别用上述两种方法各构造出了一个7阶幻方来。

五、用拉丁方构造幻方
用拉丁方也可以构造幻方,而且这种方法对于构造奇次阶幻方或者偶次阶幻方都适用。
我们以构造4阶幻方为例来说明如何用拉丁方构造幻方。
什么是拉丁方?
将A、B、C、D四个拉丁字母排成4行4列,使得每行、每列都有这4个字母,这样排列成的方阵就叫做4阶拉丁方。类似地,可以定义  阶拉丁方。

B D A C
C A D B
D B C A
A C B D
上图就是一个4阶拉丁方。如果把这个4阶拉丁方按顺时针方向旋转90°,当然得到的还是一个4阶拉丁方。如下图。

A D C B
C B A D
B C D A
D A B C
如果把这两个拉丁方叠放在一起,就得到下面这个方阵:
                        
BA DD AC CB
CC AB DA BD
DB BC CD AA
AD CA BB DC
在这个方阵里,每个方格中的字母是A、B、C、D两两排列的结果。而且包括了所有的排列情况,既不重复,又不遗漏。
现在我们可以用最后这个方阵来构造4阶幻方了。
首先把A、B、C、D分别相应地换成0、1、2、3,得到:
                        
10 33 02 21
22 01 30 13
31 12 23 00
03 20 11 32
我们把这个数字方阵中的每个数看作是4进制数。利用下面的表将它们转化为10进制数。
4进制数 00 01 02 03 10 11 12 13 20 21 22 23 30 31 32 33
10进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
这样我们就把上面的4进制数方阵转化为10进制数方阵。见下图。

4 15 2 9
10 1 12 7
13 6 11 0
3 8 5 14
最后将这个10进制数方阵里的每一个数都加上1,就得到一个4阶幻方。
                        
5 16 3 10
11 2 13 8
14 7 12 1
4 9 6 15

六、一些著名的幻方
   上面介绍的3阶幻方是非常著名的幻方,除此以外,还有一些幻方也很有名。
1、 丢勒名画《沉思》中的幻方。
德国画家丢勒(A.Durer, 1471~1528年)的名画《沉思》(见下左图)的右上方有
一个4阶幻方,这个幻方见下右图。在这个幻方中,最后一行中间两个数是15,14。它隐含了这幅油画的创作时间是1514年。  

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1




2、 完美幻方。
欧洲有一个博览会大厅的整个地面是用写有数字的瓷砖铺成。每块瓷砖上分别写有1~25中的某个数,以任何一块为中心都可以找出一个5×5的正方形方格,它都是一个5阶幻方。这样神奇的5阶幻方的确让我们赞叹不已,它确实是一个完美的幻方。下图就是这个完美幻方的图形,大家可以找找看,是不是有这样神奇的性质。



1 15 24 8 17 1 15 24 8 17 1 15 24 8 17
23 7 16 5 14 23 7 16 5 14 23 7 16 5 14
20 4 13 22 6 20 4 13 22 6 20 4 13 22 6
12 21 10 19 3 12 21 10 19 3 12 21 10 19 3
9 18 2 11 25 9 18 2 11 25 9 18 2 11 25
1 15 24 8 17 1 15 24 8 17 1 15 24 8 17
23 7 16 5 14 23 7 16 5 14 23 7 16 5 14
20 4 13 22 6 20 4 13 22 6 20 4 13 22 6
12 21 10 19 3 12 21 10 19 3 12 21 10 19 3
9 18 2 11 25 9 18 2 11 25 9 18 2 11 25
3、 考古发现的幻方。
1980年12月16日,上海市博物馆在浦东陆家嘴发现元代墓葬文物——玉挂,上面刻有4阶幻方(用现代的数写出来,见下图)。可见古时候人们对幻方是多么崇拜,竟把它当作护身符挂在身上。
8 11 14 1
13 2 7 12
3 16 9 6
10 5 4 15

20世纪50年代,在我国陕西西安出土元代铁板,什么用阿拉伯文雕刻有一个6阶幻方(下面左图为铁板上图形的复印件,右图为对应的现代数字)。这个幻方是阿拉伯文化15世纪的作品,这个6阶幻方应是阿拉伯数学家创造的。
28 4 3 31 35 10
36 18 21 24 11 1
7 23 12 17 22 30
8 13 26 19 16 29
5 20 15 14 25 32
27 33 34 6 2 9

  评论这张
 
阅读(522)| 评论(0)
推荐 转载

历史上的今天

评论

<#--最新日志,群博日志--> <#--推荐日志--> <#--引用记录--> <#--博主推荐--> <#--随机阅读--> <#--首页推荐--> <#--历史上的今天--> <#--被推荐日志--> <#--上一篇,下一篇--> <#-- 热度 --> <#-- 网易新闻广告 --> <#--右边模块结构--> <#--评论模块结构--> <#--引用模块结构--> <#--博主发起的投票-->
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

页脚

网易公司版权所有 ©1997-2017