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黑白斋主——奇门探索录

博学之,审问之,慎思之,明辨之,笃行之。

 
 
 

日志

 
 

杨辉三角  

2011-07-06 16:54:17|  分类: 奇门干支 |  标签: |举报 |字号 订阅

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杨辉三角形,又称贾宪三角形,帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

杨辉三角 - zhangguojun1181 - 黑白斋主——奇门探索录

性质

  杨辉三角 - zhangguojun1181 - 黑白斋主——奇门探索录


       1、每行数字左右对称,由1开始逐渐变大,然后变小,回到1。
  2、第n行的数字个数为n个。
  3、第n行数字和为2^(n-1)。(2的(n-1)次方)
  4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个帕斯卡三角形
  
       杨辉三角 - zhangguojun1181 - 黑白斋主——奇门探索录


       5、将第2n+1行第1个数,跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线,这些数的和是第2n个斐波那契数。将第2n行第2个数,跟第2n+1行第4个数、第2n+2行第6个数……这些数之和是第2n-1个斐波那契数。
  6、第n行的第1个数为1,第二个数为1×(n-1),第三个数为1×(n-1)×(n-2)/2,第四个数为1×(n-1)×(n-2)/2×(n-3)/3…依此类推。
  7.两个未知数和的n次方运算后的各项系数依次为杨辉三角的第n行。

历史

北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。
  13世纪中国宋代数学家杨辉在《详解九章算术》里讨论这种形式的数表,并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》,并绘画了“古法七乘方图”。故此,杨辉三角又被称为“贾宪三角”。
  元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303年)扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。
  意大利人称之为“塔塔利亚三角形”(Triangolo di Tartaglia)以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚
  在欧洲直到1623年以后,法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。
  布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique(1655年)介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果,并以此解决一些概率论上的问题,影响面广泛,Pierre Raymond de Montmort(1708年)和亚伯拉罕·棣·美弗(1730年)都用帕斯卡来称呼这个三角形。
  近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)
  历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家 
  ·贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》
  ·杨辉 中国南宋 1261《详解九章算法》记载之功
  ·朱世杰 中国元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式
  ·阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》
  ·阿皮亚纳斯 德国 1527
  ·施蒂费尔 德国 1544《综合算术》二项式展开式系数
  ·薛贝尔 法国 1545
  ·B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》
  杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质,它是研究杨辉三角其他规律的基础。杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。组合关系以及不同横行数字之间的联系。
  杨辉,字谦光,南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了如上所示的三角形数表,称之为“开方作法本源”图。
  同时,这也是多项式(a+b)^n 打开括号后的各个项的二次项系数的规律。 因此,杨辉三角第x层第y项直接就是(y nCr x)。我们也不难得到,第x层的所有项的总和为2^(x-1) (即(a+b)^x中a,b都为1的时候) 。上述y^x 指y的x次方,(a nCr b) 指组合数。
  而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到,最简单的就是要找规律。
  简单的说,就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题,比如(x+y)²=x²+2xy+y²,这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行,立方,四次方,运算的结果看看各项的系数,你就明白其中的道理了。
  这就是杨辉三角,也叫贾宪三角,在外国被称为帕斯卡三角(Pascal'sTriangle)。
  他于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。如图,在贾宪三角中,第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式(在此就不做说明了)依次下去,杨辉三角前12行
  第 1 行:
  1
  第 2 行:
  1 1
  第 3 行:
  1 2 1
  第 4 行:
  1 3 3 1
  第 5 行:
  1 4 6 4 1
  第 6 行:
  1 5 10 10 5 1
  第 7 行:
  1 6 15 20 15 6 1
  第 8 行:
  1 7 21 35 35 21 7 1
  第 9 行:
  1 8 28 56 70 56 28 8 1
  第 10 行:
  1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
  第 11 行:
  1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
  第 12 行:
  1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
  常用公式:(a+b)²=a²+2ab+b²根据杨辉三角 可得 (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
  以此类推 分别将a降幂 b升幂
  例如:
  ,它的两项的系数是1和1;
  ,它的三项系数依次是1、2、1;
  ,它的四项系数依次1、3、3、1
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         数形趣遇 算式到算图

 二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇,它把数形结合带进了计算数学. 求二项式展开式系数的问题,实际上是一种组合数的计算问题. 用系数通项公式来计算,称为“式算”;用杨辉三角形来计算,称作“图算”.
  【图算】 常数项产生在展开后的第5、6两项. 用“错位加法”很容易“加出”杨辉三角形第8行的第5个数. 简图如下:
  1 4 6 4 1
  1 5 10 10 5 1
  …… 15 20 15 6 …
  1 …… 35 35 21 ……
  … 70 56 …
  图上得到=70,==56.
  故求得展开式中常数项为70 – 2×56 = – 42
  【点评】 “式算”与“图算”趣遇,各扬所长,各补所短.<, /o:p>
  杨辉三角形本来就是二项式展开式的算图. 对杨辉三角形熟悉的考生,比如他熟悉到了它的第6行:
  1,6,15,20,15,6,1
  那么他可以心算不动笔,对本题做到一望而答.
  杨辉三角形在3年内考了5个(相关的)题目,这正是高考改革强调“多想少算”、“逻辑思维与直觉思维并重”的结果. 这5个考题都与二项式展开式的系数相关,说明数形结合思想正在高考命题中进行深层次地渗透.
  利用二项式推出牛顿切线法开方
  开立方公式:
  设A = X^3,求X.称为开立方。 开立方有一个标准的公式:
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公式来源《数学传播》136期


       X(n+1)=Xn+(A/X^2-Xn)1/3 (n,n+1是下角标)
  例如,A=5,,即求
  5介于1的3次方;至2的3次方;之间(1的3次方=1,2的3次方=8)
  初始值X0可以取1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,1.9,都可以。例如我们取X0 = 1.9按照公式:
  第一步:X1=1.9+(5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7。
  即5/1.9×1.9=1.3850416,1.3850416-1.9=-0.5149584,-0.5149584×1/3=-0.1716528,1.9+(-0.1716528)=1.7。即取2位数值,,即1.7。
  第二步:X2=1.7+(5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71。
  即5/1.7×1.7=1.73010,1.73-1.7=0.03,0.03×1/3=0.01,1.7+0.01=1.71。取3位数,比前面多取一位数。
  第三步:X3=1.71+(5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709.
  第四步:X4=1.709+(5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099
  这种方法可以自动调节,第一步与第三步取值偏大,但是计算出来以后输出值会自动转小;第二步,第四步输入值
  偏小,输出值自动转大。即5=1.7099^3;
  当然初始值X0也可以取1.1,1.2,1.3,。。。1.8,1.9中的任何一个,都是X1 = 1.7 > 。当然,我们在实际中初始值最好采用中间值,即1.5。 1.5+(5/1.5&sup2;-1.5)1/3=1.7。
  如果用这个公式开平方,只需将3改成2,2改成1。即
  X(n + 1) = Xn + (A / Xn-Xn)1 / 2.
  例如,A=5:
  5介于2的平方至3的平方;之间。我们取初始值2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9都可以,我们最好取 中间值2.5。 第一步:2.5+(5/2.5-2.5)1/2=2.2;
  即5/2.5=2,2-2.5=-0.5,-0.5×1/2=-0.25,2.5+(-0.25)=2.25,取2位数2.2。
  第二步:2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23;
  即5/2.2=2.272,2.272-2.2=-0.072,-0.072×1/2=-0.036,2.2+0.036=2.23。取3位数。
  第三步:2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。
  即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.
  每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方,即使你输入一个错误的数值,也没有关系,输出值会自动调节,接近准确值。
  A=(X±Y)^n=展开。带入公式就是开方公式。X(n+1)=Xn+(A/X^(k-1)-Xn)1/k=Xn-f(x)/f‘(x)。
  f'(x)=kx^(K-1);f(X)=X^K-A。 即牛顿切线法
  就是在开方过程中把牛顿二项式定理转换成为牛顿切线法。
  二项式定理的证明
  采用数学归纳法可行。

帕斯卡三角

      帕斯卡三角,又称杨辉三角贾宪三角,是数字组成的三角形阵列,它呈现了二项式展开式各项系数的规律.排列规律是每一行两端都是1,其余各数都是上一行中与比数最相邻的两数之和。这个数表是南宋数学家杨辉收录在他的著作里才流传下来的.据他的著作里记载,这个数表早在11世纪由北宋数学家贾宪所发现.因此,后人把“杨辉三角”又称为“贾宪三角”.在西方,称这个数表为“帕斯卡三角形”.帕斯卡在1653年开始应用这个三角形数表,发表则在1665年.这就是说,就发现和应用这个三角形而言,贾宪比帕斯卡早600年左右,杨辉比帕斯卡早400多年.

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       简介

     1
  1 1
  1 2 1
  1 3 3 1
  1 4 6 4 1
  ......
  上述三角形数表称为“杨辉三角”“贾宪三角”,它呈现了二项式展开式各项系数的规律.如表中第三行为二项式的各项的系数:1,2,1.
  又如表中第四行为二项式 的各项的系数:1,3,3,1.
  “杨辉三角”中数的排列规律是:每一行两端都是1,其余各数都是上一行中与比数最相邻的两数之和,如朱世杰只是扩充了其中的内容同时 这也是多项式(a+b)^n 打开括号后的各个项的二次项系数的规律 即为
  0 (a+b)^0 (0 nCr 0)
  1 (a+b)^1 (1 nCr 0) (1 nCr 1)
  2 (a+b)^2 (2 nCr 0) (2 nCr 1) (2 nCr 2)
  3 (a+b)^3 (3 nCr 0) (3 nCr 1) (3 nCr 2) (3 nCr 3)
  . ... ... ... ... ...
  因此 杨辉三角第x层第y项直接就是 (x nCr y)
  我们也不难得到 第x层的所有项的总和 为 2^(x-1) (即(a+b)^x中a,b都为1的时候)
  [ 上述y^x 指 y的 x次方;(a nCr b) 指 组合数]

       其实,中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章,而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。
  杨辉,字谦光,北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了如上所示的三角形数表,称之为“开方作法本源”图。
  而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到,最简单的就是叫你找规律。具体的用法我们会在教学内容中讲授。
  在国外,这也叫做"帕斯卡三角形".
  S1:这些数排列的形状像等腰三角形,两腰上的数都是1
  S2:从右往左斜着看,第一列是1,1,1,1,1,1,1;第二列是,1,2,3,4,5,6;第三列是1,3,6,10,15;第四列是1,4,10,20;第五列是1,5,15;第六列是1,6……。
  从左往右斜着看,第一列是1,1,1,1,1,1,1;第二列是1,2,3,4,5,6……和前面的看法一样。我发现这个数列是左右对称的。
  S3:上面两个数之和就是下面的一行的数。
  S4:这行数是第几行,就是第二个数加一。……
  幻方,在我国也称纵横图,它的神奇特点吸引了无数人对它的痴迷。从我国古代的“河出图,洛出书,圣人则之”的传说起,系统研究幻方的第一人,当数我国古代数学家——杨辉。
  杨辉,字谦光,钱塘(今杭州)人,我国南宋时期杰出的数学家,与秦九韶、李冶、朱世杰并称宋元四大数学家,他在我国古代数学史和数学教育史上占有十分重要的地位。
  杨辉对幻方的研究源于一个小故事。当时杨辉是台州的地方官,一次外出巡游,碰到一孩童挡道,杨辉问明原因方知是一孩童在地I 做一道数学算题,杨辉一听来了兴趣,下轿来到孩童旁问是什么算题。原来,这个孩童在算一位老先生出的一道趣题:把1到9的数字分行排列,不论竖着加、横着加,还是斜着加,结果都等于15。
  杨辉看到这个算题, 时想起来他在西汉学者戴德编纂的《大戴礼》一书中也
  见过。杨辉想到这儿,和孩童一起算了起来,直到午后,两人终于将算式摆出来了。
  后来,杨辉随孩童来到老先生家里,与老先生谈论起数学问题来。老先生说:“北周的甄弯注《数术记遗》一书中写过‘九宫者,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央。”’杨辉听了,这与自己与孩童摆出来的完全一样。便问老先生:“你可知这个九宫图是如何造出来的?”老先生说不知
  道。
  杨辉回到家中,反复琢磨。一天,他终于发现一条规律,并总结成四句话:“九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出”。就是说:先把l~9九个数依次斜排,再把上l下9两数对调,左7右3两数对调,最后把四面的2、4、6、8向外面挺出,这样三阶幻方就填好了。
  杨辉研究出三阶幻方(也叫络书或九宫图)的构造方法后,又系统的研究了四阶幻方至十阶幻方。在这几种幻方中,杨辉只给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明,四阶以上幻方,杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误,可见他已经掌握了高阶幻方的构成规律。
  在信息领域杨辉三角也起着重要作用。

       三角形的各行

       第 0 行:
  1
  第 1 行:
  1 1
  第 2 行:
  1 2 1
  第 3 行:
  1 3 3 1
  第 4 行:
  1 4 6 4 1
  第 5 行:
  1 5 10 10 5 1
  第 6 行:
  1 6 15 20 15 6 1
  第 7 行:
  1 7 21 35 35 21 7 1
  第 8 行:
  1 8 28 56 70 56 28 8 1
  第 9 行:
  1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
  第 10 行:
  1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
  第 11 行:
  1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
  第 12 行:
  1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
  第 13 行:
  1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1
  第 14 行:
  1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1
  第 15 行:
  1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1
  第 16 行:
  1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1
  第 17 行:
  1 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1
  第 18 行:
  1 18 153 816 3060 8568 18564 31824 43758 48620 43758 31824 18564 8568 3060 816 153 18 1
  第 19 行:
  1 19 171 969 3876 11628 27132 50388 75582 92378 92378 75582 50388 27132 11628 3876 969 171 19 1
  第 20 行:
  1 20 190 1140 4845 15504 38760 77520 125970 167960 184756 167960 125970 77520 38760 15504 4845 1140 190 20 1
  第 21 行:
  1 21 210 1330 5985 20349 54264 116280 203490 293930 352716 352716 293930 203490 116280 54264 20349 5985 1330 210 21 1
  第 22 行:
  1 22 231 1540 7315 26334 74613 170544 319770 497420 646646 705432 646646 497420 319770 170544 74613 26334 7315 1540 231 22 1
  第 23 行:
  1 23 253 1771 8855 33649 100947 245157 490314 817190 1144066 1352078 1352078 1144066 817190 490314 245157 100947 33649 8855 1771 253 23 1
  第 24 行:
  1 24 276 2024 10626 42504 134596 346104 735471 1307504 1961256 2496144 2704156 2496144 1961256 1307504 735471 346104 134596 42504 10626 2024 276 24 1
  第 25 行:
  1 25 300 2300 12650 53130 177100 480700 1081575 2042975 3268760 4457400 5200300 5200300 4457400 3268760 2042975 1081575 480700 177100 53130 12650 2300 300 25 1
  第 26 行:
  1 26 325 2600 14950 65780 230230 657800 1562275 3124550 5311735 7726160 9657700 10400600 9657700 7726160 5311735 3124550 1562275 657800 230230 65780 14950 2600 325 26 1
  第 27 行:
  1 27 351 2925 17550 80730 296010 888030 2220075 4686825 8436285 13037895 17383860 20058300 20058300 17383860 13037895 8436285 4686825 2220075 888030 296010 80730 17550 2925 351 27 1
  第 28 行:
  1 28 378 3276 20475 98280 376740 1184040 3108105 6906900 13123110 21474180 30421755 37442160 40116600 37442160 30421755 21474180 13123110 6906900 3108105 1184040 376740 98280 20475 3276 378 28 1
  第 29 行:
  1 29 406 3654 23751 118755 475020 1560780 4292145 10015005 20030010 34597290 51895935 67863915 77558760 77558760 67863915 51895935 34597290 20030010 10015005 4292145 1560780 475020 118755 23751 3654 406 29 1
  第 30 行:
  1 30 435 4060 27405 142506 593775 2035800 5852925 14307150 30045015 54627300 86493225 119759850 145422675 155117520 145422675 119759850 86493225 54627300 30045015 14307150 5852925 2035800 593775 142506 27405 4060 435 30 1
  第 31 行:
  1 31 465 4495 31465 169911 736281 2629575 7888725 20160075 44352165 84672315 141120525 206253075 265182525 300540195 300540195 265182525 206253075 141120525 84672315 44352165 20160075 7888725 2629575 736281 169911 31465 4495 465 31 1
  第 32 行:
  1 32 496 4960 35960 201376 906192 3365856 10518300 28048800 64512240 129024480 225792840 347373600 471435600 565722720 601080390 565722720 471435600 347373600 225792840 129024480 64512240 28048800 10518300 3365856 906192 201376 35960 4960 496 32 1
  第 33 行:
  1 33 528 5456 40920 237336 1107568 4272048 13884156 38567100 92561040 193536720 354817320 573166440 818809200 1037158320 1166803110 1166803110 1037158320 818809200 573166440 354817320 193536720 92561040 38567100 13884156 4272048 1107568 237336 40920 5456 528 33 1
  第 34 行:
  1 34 561 5984 46376 278256 1344904 5379616 18156204 52451256 131128140 286097760 548354040 927983760 1391975640 1855967520 2203961430 2333606220 2203961430 1855967520 1391975640 927983760 548354040 286097760 131128140 52451256 18156204 5379616 1344904 278256 46376 5984 561 34 1
  第 35 行:
  1 35 595 6545 52360 324632 1623160 6724520 23535820 70607460 183579396 417225900 834451800 1476337800 2319959400 3247943160 4059928950 4537567650 4537567650 4059928950 3247943160 2319959400 1476337800 834451800 417225900 183579396 70607460 23535820 6724520 1623160 324632 52360 6545 595 35 1
  第 36 行:
  1 36 630 7140 58905 376992 1947792 8347680 30260340 94143280 254186856 600805296 1251677700 2310789600 3796297200 5567902560 7307872110 8597496600 9075135300 8597496600 7307872110 5567902560 3796297200 2310789600 1251677700 600805296 254186856 94143280 30260340 8347680 1947792 376992 58905 7140 630 36 1
  第 37 行:
  1 37 666 7770 66045 435897 2324784 10295472 38608020 124403620 348330136 854992152 1852482996 3562467300 6107086800 9364199760 12875774670 159 05368710 17672631900 17672631900 159 05368710 12875774670 9364199760 6107086800 3562467300 1852482996 854992152 348330136 124403620 38608020 10295472 2324784 435897 66045 7770 666 37 1
  第 38 行:1 38 703 8436 73815 501942 2760681 12620256 48903492 163011640 472733756 1203322288 2707475148 5414950296 9669554100 154 71286560 22239974430 28781143380 33578000610 35345263800 33578000610 28781143380 22239974430 154 71286560 9669554100 5414950296 2707475148 1203322288 472733756 163011640 48903492 12620256 2760681 501942 73815 8436 703 38 1
  第 39 行:
  1 39 741 9139 82251 575757 3262623 15380937 61523748 211915132 635745396 1676056044 3910797436 8122425444 150 84504396 25140840660 37711260990 51021117810 62359143990 68923264410 68923264410 62359143990 51021117810 37711260990 25140840660 150 84504396 8122425444 3910797436 1676056044 635745396 211915132 61523748 15380937 3262623 575757 82251 9139 741 39 1
  第 40 行:
  1 40 780 9880 91390 658008 3838380 18643560 76904685 273438880 847660528 2311801440 5586853480 12033222880 23206929840 40225345056 62852101650 88732378800 1133 80261800 1312 82408400 1378 46528820 131 282408400 1133 80261800 88732378800 62852101650 40225345056 23206929840 12033222880 5586853480 2311801440 847660528 273438880 76904685 18643560 3838380 658008 91390 9880 780 40 1
  第 41 行:
  1 41 820 10660 101270 749398 4496388 22481940 95548245 350343565 1121099408 3159461968 7898654920 17620076360 35240152720 63432274896 103077446706 151 584480450 202112640600 244662670200 269128937220 269128937220 244662670200 202112640600 151 584480450 103077446706 63432274896 35240152720 17620076360 7898654920 3159461968 1121099408 350343565 95548245 22481940 4496388 749398 101270 10660 820 41 1
  第 42 行:
  1 42 861 11480 111930 850668 5245786 26978328 118030185 445891810 1471442973 4280561376 11058116888 25518731280 52860229080 98672427616 166509721602 254661927156 353697121050 446775310800 5137 91607420 538257874440 5137 91607420 446775310800 353697121050 254661927156 166509721602 98672427616 52860229080 25518731280 11058116888 4280561376 1471442973 445891810 118030185 26978328 5245786 850668 111930 11480
  861 42 1
  第 43 行:
  1 43 903 12341 123410 962598 6096454 32224114 145008513 563921995 1917334783 5752004349 153 38678264 36576848168 78378960360 151 532656696 265182149218 421171648758 608359048206 800472431850 960566918220 1052049481860 1052049481860 960566918220 800472431850 608359048206 421171648758 265182149218 151 532656696 78378960360 36576848168 153 38678264 5752004349 1917334783 563921995 145008513 32224114 6096454 962598 123410 12341 903 43 1
  第 44 行:
  1 44 946 13244 135751 1086008 7059052 38320568 177232627 708930508 2481256778 7669339132 21090682613 51915526432 114955808528 229911617056 416714805914 686353797976 1029530696964 1408831480056 1761039350070 2012616400080 2104098963720 2012616400080 1761039350070 1408831480056 1029530696964 686353797976 416714805914 229911617056 114955808528 51915526432 21090682613 7669339132 2481256778 708930508 177232627 38320568 7059052 1086008 135751 13244 946 44 1
  第 45 行:
  1 45 990 14190 148995 1221759 8145060 45379620 215553195 886163135 3190187286 10150595910 28760021745 73006209045 166871334960 344867425584 646626422970 1103068603890 17158 84494940 2438362177020 3169870830126 3773655750150 4116715363800 4116715363800 3773655750150 3169870830126 2438362177020 17158 84494940 1103068603890 646626422970 344867425584 166871334960 73006209045 28760021745 10150595910 3190187286 886163135 215553195 45379620 8145060 1221759 148995 14190 990 45 1
  第 46 行:
  1 46 1035 15180 163185 1370754 9366819 53524680 260932815 1101716330 4076350421 133 40783196 38910617655 101766230790 239877544005 511738760544 991493848554 1749695026860 2818953098830 4154 246671960 5608233007146 6943526580276 7890371113950 8233430727600 7890371113950 6943526580276 5608233007146 4154 246671960 2818953098830 1749695026860 991493848554 511738760544 239877544005 101766230790 38910617655 133 40783196 4076350421 1101716330 260932815 53524680 9366819 1370754 163185 15180 1035 46 1
  第 47 行:
  1 47 1081 16215 178365 1533939 10737573 62891499 314457495 1362649145 5178066751 17417133617 52251400851 140676848445 341643774795 751616304549 150 3232609098 2741188875414 4568648125690 6973199770790 9762479679106 12551759587422 14833897694226 16123801841550 16123801841550 14833897694226 12551759587422 9762479679106 6973199770790 4568648125690 2741188875414 150 3232609098 751616304549 341643774795 140676848445 52251400851 17417133617 5178066751 1362649145 314457495 62891499 10737573 1533939 178365 16215 1081 47 1
  第 48 行:
  1 48 1128 17296 194580 1712304 12271512 73629072 377348994 1677106640 6540715896 22595200368 69668534468 192928249296 482320623240 1093260079344 2254848913647 4244421484512 7309837001104 1154 1847896480 16735679449896 22314239266528 27385657281648 30957699535776 32247603683100 30957699535776 27385657281648 22314239266528 16735679449896 1154 1847896480 7309837001104 4244421484512 2254848913647 1093260079344 482320623240 192928249296 69668534468 22595200368 6540715896 1677106640 377348994
  73629072 12271512 1712304 194580 17296 1128 48 1
  第 49 行:
  1 49 1176 18424 211876 1906884 13983816 85900584 450978066 2054455634 8217822536 29135916264 92263734836 262596783764 675248872536 157 5580702584 3348108992991 6499270398159 1155 4258485616 18851684897584 28277527346376 39049918716424 49699896548176 58343356817424 63205303218876 63205303218876 58343356817424 49699896548176 39049918716424 28277527346376 18851684897584 1155 4258485616 6499270398159 3348108992991 157 5580702584 675248872536 262596783764 92263734836 29135916264 8217822536 2054455634 450978066 85900584 13983816 1906884 211876 18424 1176 49 1
  第 50 行:
  1 49 1176 18424 211876 1906884 13983816 85900584 450978066 2054455634
  8217822536 29135916264 92263734836 262596783764 675248872536
  157 5580702584 3348108992991 6499270398159 1155 4258485616 18851684897584
  28277527346376 39049918716424 49699896548176 58343356817424 63205303218876
  63205303218876 58343356817424 49699896548176 39049918716424 28277527346376
  18851684897584 1155 4258485616 6499270398159 3348108992991 157 5580702584
  675248872536 262596783764 92263734836 29135916264 8217822536 2054455634
  450978066 85900584 13983816 1906884 211876 18424 1176 49 1

       二项式定理

 

       二项式定理,又称牛顿二杨辉三角 - zhangguojun1181 - 黑白斋主——奇门探索录项式定理,由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出。
  此定理指出:
  其中,二项式系数指...
  等号右边的多项式叫做二项展开式。
  二项展开式的通项公式
  其i项系数可表示为:见图右,即n取i的组合数目。
       杨辉三角 - zhangguojun1181 - 黑白斋主——奇门探索录


       因此系数亦可表示为帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)
  二项式定理(Binomial Theorem)是指(a+b)n在n为正整数时的展开式。(a+b)n的系数表为:
  杨辉三角 - zhangguojun1181 - 黑白斋主——奇门探索录


          1 n=0
  1 1 n=1
  1 2 1 n=2
  1 3 3 1 n=3
  1 4 6 4 1 n=4
  1 5 10 10 5 1 n=5
  1 6 15 20 15 6 1 n=6
  …………………………………………………………
  (左右两端为1,其他数字等于正上方的两个数字之和)

       发现历程

       在我国被称为「贾宪三角」或「杨辉三角」,一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉的《详解九章算法》(1261)之中。在阿拉伯数学卡西的著作《算术之钥》(1427)中也给出了一个二项式定理系数表,他所用的计算方法与贾宪的完全相同。在欧洲,德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一般却称之为「帕斯卡三角形」,因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何,二项式定理的发现,在我国比在欧洲至少要早300年。
  1665年,牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形,给出了的展开式。

        二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和,以及差分法中有广泛的应用。
        排列与组合
  1、Cn0+Cn1+Cn2…+Cnk+…+Cnn=2^n
  2、Cno-Cn1+Cn2-Cn3+……(-1)^nCnn=0
  3、Cn0+Cn2+Cn4+……=Cn1+Cn3+Cn5+……=2^(n-1)
  证明:由(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^n
  当a=b=1时,代入二项式定理可证明1
  当a=-1,b=1时代入二项式定理可证明2
  4.组合数的性质:
  (1):C(m,n)=C(n-m,n)
  (2):C(m,n+1)=C(m,n)+C(m-1,n)
  (3):C(0,n)=C(n,n)=1
        二项式定理
  二项式定理: 叫二项式系数(0≤r≤n).通项用Tr+1表示,为展开式的第r+1项,且, 注意项的系数和二项式系数的区别。
       二项式定理的通项公式
  Tr+1=C(r,n)a^(n-r)b^r
       系数性质
  ①对称性:
  ②增减性和最大值:先增后减
  n为偶数时,中间一项的二项式系数最大,为:Tn/2+1
  n为奇数时,中间两项的二项式系数相等且最大,为:T(n+1)/2,T[(n+1)/2+1]
       赋值法
  掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想.
  证明:n个(a+b)相乘,是从(a+b)中取一个字母a或b的积。所以(a+b)^n的展开式中每一项都是)a^k*b^(n-k)的形式。对于每一个a^k*b^(n-k),是由k个(a+b)选了a,(a的系数为n个中取k个的组合数(就是那个C右上角一个数,右下角一个数))。(n-k)个(a+b)选了b得到的(b的系数同理)。由此得到二项式定理。
  二项式系数之和:
  2的n次方
  而且展开式中奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和等于2的(n-1)次方
  二项式定理的推广:
  二项式定理推广到指数为非自然数的情况:
  形式为
  注意:|x|<1
  (a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^n

       二项式的递推

       杨辉三角 - zhangguojun1181 - 黑白斋主——奇门探索录

推广公式


        二项式展开后各项的系数依次为:图——推广公式
  其中,第1个数=1,从第2个数开始,后面的每一个数都可以用前面的那个数表示为
  这就是二项式展开“系数递推”的依据. 二项式系数递推实际上是组合数由到的递推.

       加法定理

      来自二项式性质
  将杨辉三角形中的每一个数,都用组合符号表示出来,
  则得图右的三角形. 自然,“肩挑两数”的性质可写成组合的
  加法式. 如
  这里,(1)相加两数和是“下标相等,上标差1”
  的两数;(2)其和是“下标增1,上标选大”的组合数.
  一般地,杨辉三角形中第n+1行任意一数,“肩挑
  两数”的结果为组合的加法定理:
  有了组合的加法定理,二项式(a+b)展开式的证明就变得非常简便了.

        数形趣遇 算式到算图

       二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇,它把数形结合带进了计算数学. 求二项式展开式系数的问题,实际上是一种组合数的计算问题. 用系数通项公式来计算,称为“式算”;用杨辉三角形来计算,称作“图算”.
  【图算】 常数项产生在展开后的第5、6两项. 用“错位加法”很容易“加出”杨辉三角形第8行的第5个数. 简图如下:
  1 4 6 4 1
  1 5 10 10 5 1
  …… 15 20 15 6 …
  1 …… 35 35 21 ……
  … 70 56 …
  图上得到=70,==56.
  故求得展开式中常数项为70 – 2×56 = – 42
  【点评】 “式算”与“图算”趣遇,各扬所长,各补所短.<, /o:p>
  杨辉三角形本来就是二项式展开式的算图. 对杨辉三角形熟悉的考生,比如他熟悉到了它的第6行:
  1,6,15,20,15,6,1
  那么他可以心算不动笔,对本题做到一望而答.
  杨辉三角形在3年内考了5个(相关的)题目,这正是高考改革强调“多想少算”、“逻辑思维与直觉思维并重”的结果. 这5个考题都与二项式展开式的系数相关,说明数形结合思想正在高考命题中进行深层次地渗透.
  利用二项式推出牛顿切线法开方
  开立方公式:
  杨辉三角 - zhangguojun1181 - 黑白斋主——奇门探索录

公式来源《数学传播》136期


       设A = X^3,求X.称为开立方。 开立方有一个标准的公式:
  X(n+1)=Xn+(A/X^2-Xn)1/3 (n,n+1是下角标)
  例如,A=5,,即求
  5介于1的3次方;至2的3次方;之间(1的3次方=1,2的3次方=8)
  初始值X0可以取1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,1.9,都可以。例如我们取X0 = 1.9按照公式:
  第一步:X1=1.9+(5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7。
  即5/1.9×1.9=1.3850416,1.3850416-1.9=-0.5149584,-0.5149584×1/3=-0.1716528,1.9+(-0.1716528)=1.7。即取2位数值,,即1.7。
  第二步:X2=1.7+(5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71。
  即5/1.7×1.7=1.73010,1.73-1.7=0.03,0.03×1/3=0.01,1.7+0.01=1.71。取3位数,比前面多取一位数。
  第三步:X3=1.71+(5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709.
  第四步:X4=1.709+(5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099
  这种方法可以自动调节,第一步与第三步取值偏大,但是计算出来以后输出值会自动转小;第二步,第四步输入值
  偏小,输出值自动转大。即5=1.7099^3;
  当然初始值X0也可以取1.1,1.2,1.3,。。。1.8,1.9中的任何一个,都是X1 = 1.7 > 。当然,我们在实际中初始值最好采用中间值,即1.5。 1.5+(5/1.5&sup2;-1.5)1/3=1.7。
  如果用这个公式开平方,只需将3改成2,2改成1。即
  X(n + 1) = Xn + (A / Xn-Xn)1 / 2.
  例如,A=5:
  5介于2的平方至3的平方;之间。我们取初始值2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9都可以,我们最好取 中间值2.5。 第一步:2.5+(5/2.5-2.5)1/2=2.2;
  即5/2.5=2,2-2.5=-0.5,-0.5×1/2=-0.25,2.5+(-0.25)=2.25,取2位数2.2。
  第二步:2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23;
  即5/2.2=2.272,2.272-2.2=-0.072,-0.072×1/2=-0.036,2.2+0.036=2.23。取3位数。
  第三步:2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。
  即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.
  每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方,即使你输入一个错误的数值,也没有关系,输出值会自动调节,接近准确值。
  A=(X±Y)^n=展开。带入公式就是开方公式。X(n+1)=Xn+(A/X^(k-1)-Xn)1/k=Xn-f(x)/f‘(x)。
  f'(x)=kx^(K-1);f(X)=X^K-A。 即牛顿切线法
   就是在开方过程中把牛顿二项式定理转换成为牛顿切线法。
  二项式定理的证明
  采用数学归纳法可行。

       线性回归

       线性回归是利用数理统计中的回归分析,来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一,运用十分广泛。分析按照自变量和因变量之间的关系类型,可分为线性回归分析和非线性回归分析。

       概述

       概念
  如果在回归分析中,只包括一个自变量和一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量和自变量之间是线性关系,则称为多元线性回归分析。
数据组说明线性回归
  我们以一简单数据组来说明什么是线性回归。假设有一组数据型态为 y=y(x),其中
  x={0, 1, 2, 3, 4, 5}, y={0, 20, 60, 68, 77, 110}
  如果我们要以一个最简单的方程式来近似这组数据,则非一阶的线性方程式莫属。先将这组数据绘图如下
  图中的斜线是我们随意假设一阶线性方程式 y=20x,用以代表这些数据的一个方程式。以下将上述绘图的 MATLAB 指令列出,并计算这个线性方程式的 y 值与原数据 y 值间误差平方的总合。
  >> x=[0 1 2 3 4 5];
  >> y=[0 20 60 68 77 110];
  >> y1=20*x; % 一阶线性方程式的 y1 值
  >> sum_sq = sum((y-y1).^2); % 误差平方总和为 573
  >> axis([-1,6,-20,120])
  >> plot(x,y1,x,y,'o'), title('Linear estimate'), grid
  如此任意的假设一个线性方程式并无根据,如果换成其它人来设定就可能采用不同的线性方程式;所以我们必须要有比较精确方式决定理想的线性方程式。我们可以要求误差平方的总和为最小,做为决定理想的线性方程式的准则,这样的方法就称为最小平方误差(least squares error)或是线性回归。MATLAB的polyfit函数提供了 从一阶到高阶多项式的回归法,其语法为polyfit(x,y,n),其中x,y为输入数据组n为多项式的阶数,n=1就是一阶 的线性回归法。polyfit函数所建立的多项式可以写成
  从polyfit函数得到的输出值就是上述的各项系数,以一阶线性回归为例n=1,所以只有 二个输出值。如果指令为coef=polyfit(x,y,n),则coef(1)= , coef(2)=,...,coef(n+1)= 。注意上式对n 阶的多 项式会有 n+1 项的系数。我们来看以下的线性回归的示范:
  >> x=[0 1 2 3 4 5];
  >> y=[0 20 60 68 77 110];
  >> coef=polyfit(x,y,1); % coef 代表线性回归的二个输出值
  >> a0=coef(1); a1=coef(2);
  >> ybest=a0*x+a1; % 由线性回归产生的一阶方程式
  >> sum_sq=sum(y-ybest).^2); % 误差平方总合为 356.82
  >> axis([-1,6,-20,120])
  >> plot(x,ybest,x,y,'o'), title('Linear regression estimate'), grid

       线性回归拟合方程

       最小二乘法
  一般来说,线性回归都可以通过最小二乘法求出其方程,可以计算出对于y=bx+a的直线,其经验拟合方程如下:
  
  杨辉三角 - zhangguojun1181 - 黑白斋主——奇门探索录


       其相关系数(即通常说的拟合的好坏)可以用以下公式来计算:
  
        杨辉三角 - zhangguojun1181 - 黑白斋主——奇门探索录


       理解回归分析的结果
  虽然不同的统计软件可能会用不同的格式给出回归的结果,但是它们的基本内容是一致的。我们以STATA的输出为例来说明如何理解回归分析的结果。在这个例子中,我们测试读者的性别(gender),年龄(age),知识程度(know)与文档的次序(noofdoc)对他们所觉得的文档质量(relevance)的影响。
  输出:
  Source | SS df MS Number of obs = 242
  -------------+------------------------------------------ F ( 4, 237) = 2.76
  Model | 14.0069855 4 3.50174637 Prob > F = 0.0283
  Residual | 300.279172 237 1.26700072 R-squared = 0.0446
  ------------- +------------------------------------------- Adj R-squared = 0.0284
  Total | 314.286157 241 1.30409194 Root MSE = 1.1256
  ------------------------------------------------------------------------------------------------
  relevance | Coef. Std. Err. t P>|t| Beta
  ---------------+--------------------------------------------------------------------------------
  gender | -.2111061 .1627241 -1.30 0.196 -.0825009
  age | -.1020986 .0486324 -2.10 0.037 -.1341841
  know | .0022537 .0535243 0.04 0.966 .0026877
  noofdoc | -.3291053 .1382645 -2.38 0.018 -.1513428
  _cons | 7.334757 1.072246 6.84 0.000 .
  -------------------------------------------------------------------------------------------
       输出
  这个输出包括一下及部分。左上角给出方差分析表,右上角是模型拟合综合参数。下方的表给出了具体变量的回归系数。方差分析表对大部分的行为研究者来讲不是很重要,我们不做讨论。在拟合综合参数中, R-squared 表示因变量中多大的一部分信息可以被自变量解释。在这里是4.46%,相当小。
回归系数
  一般地,我们要求这个值大于5%。对大部分的行为研究者来讲,最重要的是回归系数。我们看到,年龄增加1个单位,文档的质量就下降 -.1020986个单位,表明年长的人对文档质量的评价会更低。这个变量相应的t值是 -2.10,绝对值大于2,p值也<0.05,所以是显著的。我们的结论是,年长的人对文档质量的评价会更低,这个影响不是显著的。相反,领域知识越丰富的人,对文档的质量评估会更高,但是这个影响不是显著的。这种对回归系数的理解就是使用回归分析进行假设检验的过程。

        回归误差
  由于线性回归是直接计算的,故其误差可确定
  
        杨辉三角 - zhangguojun1181 - 黑白斋主——奇门探索录

线性回归误差


       单位分数三角形

       单位分数三角形

     1/1 (第0行)
  1/2 1/2 (第1行)
  1/3 1/6 1/3 (第2行)
  1/4 1/12 1/12 1/4 (第3行)
  1/5 1/20 1/30 1/20 1/5 (第4行)
  ..............................(第n行)

       规律

       第n行提出公分母(n+1),成为下面的三角形数表
  (1/1)[1/1] (第0行)
  (1/2)[1/1 1/1] (第1行)
  (1/3)[1/1 1/2 1/1] (第2行)
  (1/4)[1/1 1/3 1/3 1/1] (第3行)
  (1/5)[1/1 1/4 1/6 1/4 1/1] (第4行)
  ..............................(第n行)

       发现者

       戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨(Gottfriend Wilhelm von Leibniz,1646.7.1.—1716.11.14.)德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家,一个举世罕见的科学天才,和牛顿(1643年1月4日—1727年3月31日)同为微积分的创建人。他博览群书,涉猎百科,对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。

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